Погрешности значения функции

При вычислении значения функции в точке (считаем приближенным значением точного числа ) возникают погрешности – предельная абсолютная и предельная относительная . Выразим эти погрешности через погрешности числа (будем полагать, что функция дифференцируема в точке ).

Так как функция дифференцируема в точке , то

, (4.1)

где мало при малом (иными словами, слагаемым в формуле (4.1) можно пренебречь, если мало).

Учитывая равенство (4.1), истинная абсолютная погрешность будет оцениваться неравенством (приближенным)

,

откуда по определению предельной абсолютной погрешности

. (4.2)

Итак, предельная абсолютная погрешность значения функции в точке ( – приближенное число) равна произведению модуля производной этой функции в точке на предельную абсолютную погрешность числа .

Соответственно предельная относительная погрешность вычисляется следующим образом

= . (4.3)

Найдем с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности значений основных элементарных функций.

Пусть ( – действительное число). Тогда

, .

В частности при : .

Пусть . Тогда

, .

Пусть . Тогда

, .

В частности, если , то .

Аналогично определяются погрешности значений других основных элементарных функций (см. таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

№

Пример 4.1. Дана функция . Протабулировать ее на отрезке (считать ), разбив его на равных частей (все расчеты проводить с 4 знаками после запятой). Вычислить предельные абсолютные, относительные погрешности значений функции в узлах табулирования.

Решение: Протабулировать функцию на отрезке с постоянным шагом означает составить таблицу значений , (точки называются узлами табулирования), где

. (4.4)

В нашем случае , , ; узлы определяются следующим образом:

. (4.5)

Вычислим значения функции в узлах табулирования (4.5):

.

Имеем , ;

, 3,3261,

,

и так далее.

Все вычисления значения функции в узлах табулирования заполняем в таблицу 4.2.

Учитывая формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в узлах (4.5) (при этом число можно считать точным, а тогда ; в остальных же узлах (4.5) ,00005)

, .

Таблица 4.2.

i
	0,6284	0,7927	0,5334	3,3261	4,8678	1,46
	1,2568	1,2111	0,2846	3,4057	8,0695	2,37
	1,8852	1,3730	0,1518	3,5248	1,0618	0,3
	2,5136	1,5854	0,0809	3,6663	1,1724	0,32
	3,1420	1,7726	0,0432	3,8158	1,1944	0,31