2015-04-23
987
При вычислении значения функции 
в точке 
(считаем 
приближенным значением точного числа 
) возникают погрешности – предельная абсолютная 
и предельная относительная 
. Выразим эти погрешности через погрешности числа (будем полагать, что функция дифференцируема в точке ).
Так как функция дифференцируема в точке , то
, (4.1)
где 
мало при малом 
(иными словами, слагаемым в формуле (4.1) можно пренебречь, если мало).
Учитывая равенство (4.1), истинная абсолютная погрешность 
будет оцениваться неравенством (приближенным)
,
откуда по определению предельной абсолютной погрешности
. (4.2)
Итак, предельная абсолютная погрешность значения функции в точке ( – приближенное число) равна произведению модуля производной этой функции в точке на предельную абсолютную погрешность числа .
Соответственно предельная относительная погрешность вычисляется следующим образом
= 
. (4.3)
Найдем с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности значений основных элементарных функций.
Пусть 
(
– действительное число). Тогда
|
|
|
, 
.
В частности при 
: 
.
Пусть 
. Тогда
, 
.
Пусть 
. Тогда
, 
.
В частности, если 
, то 
.
Аналогично определяются погрешности значений других основных элементарных функций (см. таблицу 4.1).
Таблица 4.1.
| № |
|
|
|
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|
|
Пример 4.1. Дана функция 
. Протабулировать ее на отрезке 
(считать 
), разбив его на 
равных частей (все расчеты проводить с 4 знаками после запятой). Вычислить предельные абсолютные, относительные погрешности значений функции в узлах табулирования.
Решение: Протабулировать функцию на отрезке 
с постоянным шагом 
означает составить таблицу значений 
, 
(точки называются узлами табулирования), где
. (4.4)
В нашем случае , 
, 
; узлы определяются следующим образом:
. (4.5)
Вычислим значения функции в узлах табулирования (4.5):
.
Имеем 
, 
;
, 
3,3261,
, 
и так далее.
Все вычисления значения функции в узлах табулирования заполняем в таблицу 4.2.
Учитывая формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в узлах (4.5) (при этом число можно считать точным, а тогда 
; в остальных же узлах (4.5) 
,00005)
, 
.
Таблица 4.2.
| i | 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,6284 | 0,7927 | 0,5334 | 3,3261 | 4,8678 
| 1,46 
| |
| 1,2568 | 1,2111 | 0,2846 | 3,4057 | 8,0695 
| 2,37 
| |
| 1,8852 | 1,3730 | 0,1518 | 3,5248 | 1,0618 
| 0,3 
| |
| 2,5136 | 1,5854 | 0,0809 | 3,6663 | 1,1724
| 0,32
| |
| 3,1420 | 1,7726 | 0,0432 | 3,8158 | 1,1944 
| 0,31
|
