Математические методы, используемые при функционировании метрологической системы

Выбор наиболее целесообразной математической модели системы может быть сделан с использованием методов оптимизации, суть которых состоит в отыскании максимального или минимального значения заданной (целевой) функции на заданном множестве значений ее аргументов, множестве допустимых решений.

Разрабатываемая система должна предусматривать методы контроля параметров, методы измерений, математическая модель должна включать такие компоненты (элементы), как модели измерений.

4.Способ получения модели:

- теоретические (только модели, имеющие теоретическое обоснование, позволяют обеспечить универсальный подход к решению проблемы)

- экспериментальные модели не учитывают всего комплекса характеристик системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе измерения, эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые

подлежат моделированию и оценке: экспериментальные модели, как правило, носят частный характер.

Использование функциональных математических моделей для описания процессов, составляющих метрологическую систему, безусловно, требует разработки динамических нелинейных моделей. Однако отдельными элементами обобщенных моделей также могут быть статические компоненты, линейные аналитические зависимости и т.д.

Модель, описывающая систему метрологических процессов, также должна быть вероятностной для того, чтобы

Критерии классификации математических моделей
Форма представле- ния системы: вербальные, аналити-ческие,алгоритми-ческие, графические	Характер отображаемых параметров и характе-ристик системы: функциональ- ные, структурные	Степень абстраги- рования (уровень иерархии): модель микроуровня; модель макроуровня; модель метауровня	Способ получения модели: теорети- ческие; экспери- менталь- ные,	Характер параметров, которые модель позволяет анализировать: динамические статические; непрерывные; дискретные; линейные; нелинейные	Способ получения резуль-татов: детерми-нирован-ные, вероятност- ные	Назначение математи- ческой модели: описатель- ные; модели принятия решений

Рис. 26.Классификация математических моделей метрологических систем кинематографических

предприятий

процессы, происходящие в системе, а также их результаты могли быть оценены и проанализированы вероятностно-статистическими методами. Примером такой модели может быть статистическая модель для анализа и прогнозирования настроенности и точности технологического процесса. Детерминированныемодели могут иметь лишь вспомогательное значение.

5.Н азначение модели:

- Описательные модели отражают содержание и основные свойства анализируемых систем, с их помощью вычисляются числовые значения характеристик и показателей.

- модели принятия решений позволяют находить оптимальные варианты организационных решений, чаще используются при решении задач конфликтного характера с учетом пересечения различных параметров, эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (чего нет в описательных моделях).

Выбор наиболее целесообразной математической модели метрологической системы может быть основан на методах оптимизации, суть которых состоит в отыскании максимального или минимального значения целевой функции на заданном множестве значений ее аргументов, множестве допустимых решений.

Математический этап исследования заключается в построении математической модели, в выборе или разработке расчетных методов, в построении алгоритма решения задачи, в программировании выбранного алгоритма, в проверке модели на различных примерах.

Заключительным этапом, очевидно, является внедрение результатов в практическую деятельность предприятий и организаций.

Кроме того, следует отметить, что не все элементы и факторы анализируемой системы могут быть формализованы. Поэтому математическая модель представляет собой не более, чем упрощение реальности. В этом и заключается методология прикладной математики, для нее характерны менее формальные подходы по сравнению с «чистой математикой», качественно- количественные приемы и методы (экспертные оценки, имитационное моделирование и т.п.).

Помимо контрольно- измерительных, диагностических процедур и методов оценки точности результатов контроля и измерений, в процессе функционирования системы качества необходимо использовать и предусматривать методы оценки результативности, эффективности самой метрологической системы.

Математические методы, используемые при функционировании метрологической системы:

1. Поскольку при проведении метрологических и контрольных процедур необходимо учитывать случайные факторы, отклонения параметров и характеристик, непременным инструментом оценки должен быть аппарат теории вероятностей – раздел прикладной математики, изучающий закономерности в случайных явлениях. Как и в любой математической теории, объекты теории вероятностей (погрешности, случайные результаты измерений, экспертные оценки) являются абстракциями от реальных объектов, т.е. их математическими моделями.

2. Математическим аппаратом для обработки результатов измерения и контроля, оценки стабильности функционирования системы, отдельных процессов является математическая статистика – разработка рациональных методов обработки экспериментальных данных, полученных при определенных «фиксированных» условиях (в статике). Статистические данные также необходимы для исследования взаимосвязей и взаимозависимостей между влияющими (эксплуатационными, технологическими) факторами и выходными характеристиками, для прогнозирования ситуаций [62-66].

3. Для исследования закономерностей изменения параметров и характеристик во времени в условиях неопределенности под воздействием не только управляющих и корректирующих факторов, но так же внешних и внутренних возмущений, помех используются методы теории случайных функций.

4. Когда в анализируемой системе происходит процесс передачи, преобразования сигнала, для оценки целесообразно использовать теорию информации, позволяющую учитывать физические и вероятностные характеристики передаваемых сигналов и соответствующих помех. Ограниченное использование в метрологии объясняется тем, что необходимо знать характер сигнала на выходе заранее!!!

5. Для оптимизации процессов, их структуры, для оценки результатов измерения, когда нет достаточной информации для выбора решения, т.е. в условиях неопределенности, используют методы теории статистических решений. Наиболее удобными методами статистических решений являются [67] метод минимального риска (когда рассчитывается граничное значение параметра из условия минимума среднего риска – вероятности ложных тревог); метод минимального числа ошибочных решений; метод минимакса (используется, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности оцениваемых ситуаций, оценивается совокупность наиболее критичных условий, приводящая к наибольшей вероятности ошибки)и т.д.

6. Для различных вариантов комбинаций значений влияющих факторов оцениваются выходные характеристики. Варианты исходных данных и полученный набор вариантов решений являются информационным массивом, из которого или с помощью которого выбирается решение. Одним из способов такого выбора может быть просто просмотр всех вариантов и выбор из них наиболее подходящего. При этом может возникнуть опасность выбора не наилучшего варианта, так как варианты содержат погрешности и неопределенности, кроме того, рассмотренные варианты исходных данных могут не содержать оптимального решения, если ему соответствуют промежуточные значения влияющих факторов. Частично эти недостатки могут быть устранены путем увеличения количества исходных вариантов для того, чтобы анализируемый информационный массив позволял проводить интерполяцию данных и оценку погрешностей.

Для того, чтобы выявить закономерности зависимости вариантов решений от варьируемых влияющих факторов, как правило, формируют многофакторную эмпирическую модель по экспериментальным данным. Решение таких задач относится к математическому направлению, которое носит название планирования экспериментов.

7. Также близкими к вышеназванному разделу прикладной математики являются методы оптимизации, с помощью которых решаются так называемые экстремальные задачи, суть которых состоит в отыскании максимального (например, заданного качественного уровня характеристик системы, процесса, изделия) или минимального (например, величины возникающего отклонения характеристик от номинальных значений, погрешностей) значения целевой функции на заданном множестве значений ее аргументов (влияющих факторов).

8. Для учета влияния изменения характеристик во времени целесообразно обратиться к такому разделу прикладной математики, как теория оптимального управления, позволяющему исследовать динамические модели и выработать оптимальные решения с учетом либо дискретного, либо непрерывного воздействия временных факторов.

9. Современные представления о расчете точности (погрешностей) основываются на теории множеств. Согласно этой теории, связи между объектами являются более важными, чем сами объекты.

В 60-е годы на стыке теории множеств и формальной логики американским математиком Л.Заде была сформулирована нечеткая логика (теория fussy множеств). Принадлежность элементов к тому или иному множеству определяется не в виде однозначных ответов да-нет (0, 1), а коэффициентами принадлежности функции m(х), которые могут принимать любые промежуточные значения между нулем и единицей или посредством ответов «может быть», «вероятнее всего» и т.п. Такой подход позволяет использовать строгие математические процедуры теории множеств для формализации качественных, словесно выраженных значений характеристик анализируемой системы, ее отдельных элементов. К базовым понятиям нечеткой логики относятся понятия «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная» (№1). Функции принадлежности, характеризующие нечеткое множество, могут быть заданы аналитически или графически. Принадлежность элемента х множеству Х обозначают как хÎХ. Принадлежность элемента х к множеству М, являющемуся подмножеством базисного множества Х, определяется функцией принадлежности m­ _М (х) (№2). Нечеткое множество характеризуется непрерывной функцией принадлежности, которая устанавливает каждому значению х степень его принадлежности к нечеткому множеству М, определяемому в общем случае выражением

Лингвистической переменной называют переменную, которая задана на количественной шкале базисной переменной х (например, значение экспертной оценки субъективной характеристики) и принимает значение в виде слова или словосочетаний. Отдельное значение лингвистической переменной называется лингвистическим термом (№3) и задается также с помощью функции принадлежности, т.е. каждому терму соответствует нечеткое множество.

Пусть такая погрешность установки объектива в кинопроекторе, как неперпендикулярность оптической оси объектива относительно плоскости кадрового окна, вызывает дополнительную нерезкость киноизображения, которая оценивается экспертами с помощью нечетких оценок «искажение незаметно», «едва заметное изменение», «заметно, но не мешает», «мешает. Совокупность М этих оценок рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая перечисленные значения (термы). Лингвистическая переменная полностью определена, если заданы множество ее термов и соответствующих функций принадлежности (рис.27).

Рис.27. Функции принадлежности, характеризующие значения лингвистической переменной «дополнительно возникающая нерезкость киноизображения»