2015-04-23
734
Пример 1. Проведем исследование функции 
и построим эскиз ее графика.
Решение. Область определения функции : 
Найдем множество значений функции .
Если 
, то уравнение 
имеет единственный корень 
Значит график функции проходит через начало координат и 
Пусть 
, тогда 
Следовательно, 
. При этом наибольшее значение функции равно 
, в точке 
наименьшее значение функции равно 
, в точке 
Точки 
принадлежат графику функции . Данная функция по определению ограничена сверху и снизу и, следовательно, ограничена.
Исследуем функцию на четность:
− область определения функции 
симметричное относительно начала координат множество;
− 
Следовательно, функция нечетная по определению.
График данной функции симметричен относительно начала координат, его можно построить для 
, а затем симметрично отразить относительно начала координат.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
То есть 
, при 
; 
, при 
График данной функции лежит выше оси 
при , ниже оси при
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть 
. Сравним 
где 
имеем
Установим знак выражения 
По условию 
, выражение 
Определим знак выражения 
. Для этого заменим 
имеем: 
Следовательно, на 
и на 
Таким образом, на и на функция убывает.
Аналогично, на 
функция возрастает.
Следовательно, 
– точка минимума функции ; 
– точка максимума функции .
Точка 
единственная точка пересечения с осями координат.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 87.
Рис. 87
Пример 2. Проведем исследование функции 
и построим эскиз ее графика.
Решение. Определим область определения функции : 
Следовательно, 
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение 
не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .
Пусть , тогда 
Следовательно, 
. При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение 
функция принимает при 
значение 
функция принимает при 
Точки 
принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале 
нет ни одной точки графика функции.
При 
точка пересечения графика функции с осью 
Исследуем функцию на четность. Область определения функции 
не симметричное относительно начала координат множество, следовательно функция общего вида.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
То есть , при 
; , при 
График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где 
имеем
Установим знак выражения 
.
По условию 
. Определим знак выражения 
. Для этого заменим 
имеем: 
Определим знак выражения 
. 
Следовательно, на 
и на 
Таким образом, на и на функция убывает.
Аналогично, на 
функция возрастает.
Следовательно, 
– точка минимума функции ; 
– точка максимума функции .
Эскиз графика функции приведен на рисунке 88.
Рис. 88
Пример 3. Проведем исследование функции 
и построим эскиз ее графика.
Решение. Определим область определения функции : 
Следовательно, 
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение 
не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .
Пусть , тогда 
Следовательно, 
. При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение 
функция принимает при 
значение функция не принимает. Точка 
принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале 
нет ни одной точки графика функции.
При 
точка пересечения графика функции с осью
Исследуем функцию на четность. Область определения функции 
не симметричное относительно начала координат множество, следовательно, функция общего вида.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
То есть на 
, на 
График данной функции лежит выше оси на , ниже оси на
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где 
имеем
Установим знак выражения 
.
По условию . Определим знак выражения 
. Для этого заменим имеем: 
Выражение 
.
Следовательно, на 
функция возрастает.
Аналогично, на 
функция убывает.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 89.
Рис. 89
Пример 4. Проведем исследование функции 
и построим эскиз ее графика.
Решение. Определим область определения функции : 
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение 
не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .
Пусть , тогда 
Следовательно, 
. При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение функция принимает при значение 
функция принимает при 
Точки 
принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале 
нет ни одной точки графика функции.
При 
точка пересечения графика функции с осью
Исследуем функцию на четность. Область определения функции 
не симметричное относительно начала координат множество, следовательно, функция общего вида.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
. То есть , при ; , при 
График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где 
имеем
Установим знак выражения 
.
По условию . Определим знак выражения 
. Для этого заменим имеем: 
Определим знак выражения 
. 
Следовательно, на 
и на Таким образом, на и на функция убывает.
Аналогично, на 
функция возрастает.
Следовательно, 
– точка минимума функции ; – точка максимума функции .
Эскиз графика функции приведен на рисунке.
Рис. 90
