Исследование функций и построений их графиков

Пример 1. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.

Решение. Область определения функции :

Найдем множество значений функции .

Если , то уравнение имеет единственный корень Значит график функции проходит через начало координат и

Пусть , тогда

Следовательно, . При этом наибольшее значение функции равно , в точке наименьшее значение функции равно , в точке Точки принадлежат графику функции . Данная функция по определению ограничена сверху и снизу и, следовательно, ограничена.

Исследуем функцию на четность:

− область определения функции симметричное относительно начала координат множество;

−

Следовательно, функция нечетная по определению.

График данной функции симметричен относительно начала координат, его можно построить для , а затем симметрично отразить относительно начала координат.

Функция непериодическая.

Определим промежутки знакопостоянства данной функции:

То есть , при ; , при График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при

Определим промежутки монотонности функции .

Пусть . Сравним где имеем

Установим знак выражения

По условию , выражение Определим знак выражения . Для этого заменим имеем:

Следовательно, на и на Таким образом, на и на функция убывает.

Аналогично, на функция возрастает.

Следовательно, – точка минимума функции ; – точка максимума функции .

Точка единственная точка пересечения с осями координат.

Эскиз графика функции приведен на рисунке 87.

Рис. 87

Пример 2. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.

Решение. Определим область определения функции : Следовательно,

Найдем множество значений функции .

Если , то уравнение не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .

Пусть , тогда

Следовательно, . При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение функция принимает при значение функция принимает при Точки принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале нет ни одной точки графика функции.

При точка пересечения графика функции с осью

Исследуем функцию на четность. Область определения функции не симметричное относительно начала координат множество, следовательно функция общего вида.

Функция непериодическая.

Определим промежутки знакопостоянства данной функции:

То есть , при ; , при График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при

Определим промежутки монотонности функции .

Пусть . Сравним где имеем

Установим знак выражения .

По условию . Определим знак выражения . Для этого заменим имеем:

Определим знак выражения .

Следовательно, на и на Таким образом, на и на функция убывает.

Аналогично, на функция возрастает.

Следовательно, – точка минимума функции ; – точка максимума функции .

Эскиз графика функции приведен на рисунке 88.

Рис. 88

Пример 3. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.

Решение. Определим область определения функции :

Следовательно,

Найдем множество значений функции .

Если , то уравнение не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .

Пусть , тогда

Следовательно, . При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение функция принимает при значение функция не принимает. Точка принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале нет ни одной точки графика функции.

При точка пересечения графика функции с осью

Исследуем функцию на четность. Область определения функции не симметричное относительно начала координат множество, следовательно, функция общего вида.