Тема 2. Теоремы сложение и умножение вероятностей

Теорема сложения (Вентцель) вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

Предположим, что из этих случаев благоприятны событию , а – событию . Тогда

Так как события и несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и вместе. Следовательно, событию благоприятны случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие буквой , и присоединяя к сумме еще одно событие , легко доказать, что

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:

и докажем, что она будет справедлива для событий:

Обозначим:

Имеем:

.

Но так как для n событий мы считаем теорему уже доказанной, то

,

откуда

,

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Её удобнее записать в виде:

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

.

Так как - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей

,

откуда

, что и требовалось доказать.

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию , принято обозначать .

Примеры противоположных событий.

1) – попадание при выстреле, - промах при выстреле;

2) – выпадение герба при бросании монеты, - выпадение цифры при бросании монеты;

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события . В этих случаях вычисляют и находят .