Производная интеграла с переменным верхним пределом

Пусть f(x) неопределенна на [a,b]. Возмем на нем произвольную т. x и рассмотрим определенный интеграл:

он сужествует для всех x и является ф-ей своего верхнего предела.

Теорема:

Пусть f(x) – непрерывна на [a,b], тогда ф-я (1) имеет производную в любой т. x , причем F’(x) = f(x).

Другими словами:

Производная от определенного интеграла по его верхнему пределу, равна значению подинтегральной ф-и в верхнем пределе.

Док-во:

Дадим аргументу x прирожение , что (x + ) , тогда ф-я F получить прирощение

Применяем т. о Среднем значинии ф-ии:

Переходим к lim при

F’(x) =