Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства

Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.

Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.

Свойства:

1. a * b = b * a

2. (C* a)* b =C*(a * b)

3. a (b + c)= a * c + b * c;

4.

5. (a, b) = 0 =>

6. ij = jk = kj = 0.

Теорема 1: в пространстве R³ в ортонормированном базисе :

Следствие из Т1:

Для вектора :

Механический смысл скалярного произведения:

Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S (на длину ) =>

13. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.

Векторное произведение вектора a на b - это c, который:

1) с перпендикулярно a и b;

2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах | c |=| a |*| b |*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.

Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:

1. i * j = k;

2. j * k = i;

3. k * i = j;

Свойства:

1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ()

2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.

Пункты: 1)условие коллиниарности: a // b => a * b =0;

2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*

3)определение момента силы. | M |=| F |*| S |.

Теорема:

,