АХ=В – система и параллельно рассмотрим систему АХ=0. (АХ=В – Неоднородн. СЛАУ, АХ=0 – однородн. СДАУ).
Одновременно выполняется:
1. АХ=0 имеет тольок тривиальное решение, АХ=В имеет единственное решение или не имеет решений совсем.
2. АХ=0 имеет нетривиальное решение, АХ=В имеет бесконечное число решений.
Рассмотрим подробнее 2-ой случай: r(A) = r(A с волной сверху)<m..
M – r(A) – дефект, количество свободных неизвестных.
Пример:
,
б.м: х1, х2
св.м: х3, х4.
х2 + х3 +2х4 = 1., х2 = 1 – а – 2b, х3 = а, х4 = b.
х1 = -2х2 – х3 + х4 + 1 = -2 + 2а +4b – а + b+1 = -1 + а + 5b.
Ответ: (-1 + а + 5b., 1 – а – 2b, а, b)Т.
Хо – общее решение ОСЛАУ
Х (с волной) – общее решение НСЛАУ