Принятие решений в условиях неопределенности
Нередко при решении экономических задач возникает необходимость выбора оптимального решения в условиях неопределенности и риска. Особенностью таких условий является неясность исходов, последствий выбора решений одной стороной под влиянием случайных факторов и неизвестность поведения противоположной стороны. Такие ситуации называются играми с природой (иногда статистическими играми). Они решаются с помощью методов теории статистических решений. Термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которая выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре. Природа безразлична к выигрышу.
Сторона, принимающая решение (игрок А или статистик), имеет т стратегий: А1, А2, …, Аm. Природа может реализовать n возможных состояний: П1 П2, …, Пn. Поскольку природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с помощью выигрышей игрока А для каждой пары стратегий Аi, и Пj. Все показатели игры записываются в виде платежной матрицы.
Часто построение платежной матрицы является наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения.
При анализе игры с природой вводится также показатель, позволяющий оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход ситуации. Этот показатель называется риском.
Риском статистика, когда он пользуется чистой стратегией Аi; при состоянии Пj природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем , который он получит, используя стратегию Аi, не зная, какое из состояний Пj природа действительно реализует. То есть элементы матрицы рисков определяются по формуле.
Решение статистической игры может находиться либо в смешанных стратегиях, либо в чистых стратегиях.
Учитывая специфику статистических игр, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторую логическую схему принятия решения. Поскольку критерии формулируются на основе здравого смысла, интуиции и практической целесообразности, то они помогают оценить принимаемое решение с различных позиций, что позволяет избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
Применяется две группы критериев — использующих и не использующих априорные вероятности состояний природы. К первой группе относятся критерии Байеса и Лапласа. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия А;, при которой максимизируется средний выигрыш статистика
то есть обеспечивается
Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния Пj природы, то
и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия Аi, обеспечивающая
Ко второй группе критериев, применяемых при неизвестных априорных вероятностях состояний природы, относятся критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Оптимальной по критерию Вальда считается чистая стратегия Аi, при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, то есть ему обеспечивается
.
Для смешанных стратегий критерий Вальда формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика , будет максимальным, то есть стратегия p *, найденная из условия
.
Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия Аi при которой минимизируется величина r i максимального риска, то есть обеспечивается .
Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимизируется, то есть стратегия р*, найденная из условия
Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия Ai, найденная из условия
,
где г принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.
При г = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, а при г = 0 — в критерий крайнего оптимизма.
Надо отметить, что анализ практических ситуаций следует проводить по нескольким критериям, что позволит глубже вникнуть в суть явления и выбрать обоснованное решение.
Решение матричных игр сведением к задаче линейного программирования
Пусть игра задана платежной матрицей.
… | ||||
… | ||||
… | ||||
… | … | … | … | |
… |
Оптимальные смешанные стратегии и игроков А и В могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программрования.
Для игрока А:
В результате решения задачи находятся оптимальный вектор и , а затем .
Для игрока В:
Решая задачу, находят оптимальный вектор и , а затем .