2015-04-20
360
Для изготовления 4-х видов продукции используют три вида сырья. Количество сырья вида 
, необходимое для изготовления единицы продукции вида 
, запасы сырья 
и прибыль от реализации единицы продукции вида 
заданы матрицей
= 
.
Требуется:
1) Составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой, можно найти план выпуска продукции, при котором общая прибыль 
будет наибольшей.
2) Симплексным методом найти оптимальный план выпуска продукции и максимальную величину прибыли.
3) Составить задачу, двойственную к исходной, и пояснить ее экономическую суть. Используя теорию двойственности, установить соответствие между переменными прямой и двойственной задач, найти двойственные оценки.
4) С помощью двойственных оценок исследовать:
а) степень полезности отдельных видов ресурсов в условиях производства;
б)величину финансовых потерь в расчете на единицу продукции в случае, если предприятие вынуждено будет производить невыгодные ему виды продукции. При необходимости такого производства обосновать цены на готовую продукцию.
|
|
|
РЕШЕНИЕ
1) Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через Х1, Х2, Х3, Х4 количество весовых единиц четырех видов продукции, которые планируется изготовить. Тогда прибыль, полученная от реализации выпущенной продукции, будет равна
.
Переменные Х1, Х2, Х3, Х4 должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов сырья, что выражается неравенствами:
По смыслу задачи
Итак, математическая модель задачи имеет вид
(1)
(2)
(3)
Перейдем к канонической форме задачи линейного программирования, введя дополнительные (балансовые) переменные Х5, Х6, Х7, означающие возможные остатки ресурсов сырья:
.
2) Peшим полученную задачу линейного программирования симплексным методом.
Составим начальную симплексную таблицу по данным модели.
Таблица 1
| БП | СБ | Ао | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Θ 
|
| Х5 | ||||||||||
| Х6 | ||||||||||
| Х7 | ||||||||||
| Zj-Cj | -10 | -12 | -14 | -12 |
Полученный план (0,0,0,0,90,80,100) является опорным, но не является оптимальным, т.к. в индексной строке есть отрицательные элементы. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-14) индексной строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную Х3. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее из них
Таблица 2
| БП | СБ | Ао | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Θ |
| Х5 | -0,5 | -0,5 | -0,5 | |||||||
| Х3 | 0,5 | 0,75 | 1,25 | 0,25 | ||||||
| Х7 | -2 | -1 | ||||||||
| Zj-Cj | -3 | -1,5 | 5,5 | 3,5 |
План не является оптимальным, так как есть отрицательные индексные оценки, и поэтому переходим к следующему нехудшему плану.
|
|
|
Введем в базис Х1, выведем – Х7.
Таблица 3
| БП | СБ | Ао | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Θ |
| Х5 | -6,5 | 3,5 | 1,5 | -2 | 2,86 | |||||
| Х3 | -0,75 | 2,25 | 0,75 | -0,5 | 4,44 | |||||
| Х1 | -2 | -1 | - | |||||||
| Zj-Cj | 7,5 | -0,5 | 0,5 |
Введем в базис Х4, выведем – Х5.
Таблица 4
| БП | СБ | Ао | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | Θ |
| Х4 | 2,86 | -1,86 | 0,29 | 0,43 | -0,57 | |||||
| Х3 | 3,57 | 3,43 | -0,64 | -0,21 | 0,79 | |||||
| Х1 | 25,71 | -0,71 | 0,57 | -0,14 | -0,14 | |||||
| Zj-Cj | 341,4 | 6,57 | 0,14 | 0,71 | 2,71 | |||||
| У4 | У5 | У6 | У7 | У1 | У2 | У3 |
Так как в таблице 4 в индексной строке нет отрицательных оценок, то план (25,71; 0; 3,57; 2,86; 0; 0; 0) является оптимальным, и он является единственным, так как все свободные переменные имеют оценки, отличные от нуля.
Максимальная прибыль предприятия составит 341,43 денежные единицы, если оно выпустит 25,71 весовых единиц продукции 1-го вида, 3,57 весовых единиц 3-го вида и 2,86 весовых единиц продукции 4-го вида, а продукцию 2-го вида вообще выпускать не будет. Так как 
то все виды ресурсов при выполнении оптимального плана будут израсходованы полностью.
3) Составим модель двойственной задачи
;
Из 1-ой теоремы двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи. Компоненты оптимального плана двойственной задачи находятся в индексной строке последней симплексной таблицы уже решенной задачи. Запишем каноническую форму математической модели двойственной задачи, введя дополнительные (балансовые) переменные 
;
Соответствие между переменными двойственных задач примет вид
.
Оптимальный план двойственной задачи имеет вид
= (0,14;0,71;2,71;0;6,57;0;0).
Оценки для 1-го, 2-го и 3-го видов сырья положительные, что указывает, что эти виды сырья наиболее дефицитные и используются полностью. Увеличение объема сырья 1-го вида на одну весовую единицу позволило бы получить оптимальный план, для которого доход увеличился бы на 0,14 денежные единицы. Увеличение объема сырья 2-го и 3-го вида на одну весовую единицу позволило бы получить оптимальный план, для которого доход увеличился бы на 0,71 и 2,71 ден. единицы соответственно.
Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану нецелесообразно выпускать. Так как 
= 6,57, то это говорит о том, что стоимость ресурсов, расходуемых на производство одной единицы продукции второго вида (в прикидочных ценах), превышает стоимость единицы этой продукции (С2 = 12) на 6, 57 ден.ед. Следовательно, в случае необходимости ее производства для рентабельности предприятия цена на нее должна быть не менее 18,57 ден.ед.
