2015-04-20
497
Коммерческие банки 
на различный срок выделяют кредиты предприятиям 
под процент 
с целью получения для себя максимальной прибыли от процентов. Выделяемая сумма кредита банками 
, потребность предприятий в кредите 
(млн ден.ед.) и процентные ставки 
из расчета 100 ден. ед. в зависимости от сроков возмещения приведены в матрице:
= 
.
Требуется:
1) построить экономико-математическую модель задачи по распределению кредита банками предприятиям с целью получения максимальной прибыли по процентам;
2) методом потенциалов найти оптимальное распределение кредитов, максимизирующее общую прибыль, полученную банками от предприятий;
3) указать предприятия, которые недополучат кредит, а также его сумму.
РЕШЕНИЕ
1) Проверим условие закрытости модели: 
, 
.
Т.о. условие закрытости модели не выполняется, поэтому надо вводить фиктивный банк A5 с выделяемой суммой кредита а5 = 50 млн ден. ед. и с процентными ставками С5j = 0 (j = l,3). После введения фиктивного банка открытая модель задачи преобразовалась в закрытую. Составим распределительную таблицу 10.
Таблица 10
| Предприятия | ||||
| Банки | В1 | В2 | В3 | Выделенный кредит |
| A1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 | ||||
| А4 | I8 | |||
| А5 | ||||
| Потребность в кредите |
Пусть Хij - кредиты, выделяемые банком Ai предприятию Bj (i= 
; j = 
).
Тогда суммарная прибыль, получаемая банками от предприятий, представлена целевой функцией:
. (l)
Система ограничений примет вид:
(2)
(3)
2) Решим поставленную задачу методом потенциалов. Начальный опорный план определим по правилу «максимального» элемента.
Таблица 11
| B1 | B2 | B3 | аi | Ui | |||
| А1 |  _
|
| + | * | ||||
| A2 | 16 
| |||||||
| A3 | ||||||||
| A4 | + | _ 20 | ||||||
| A5 | ||||||||
| bj | ||||||||
| Vj |
Получен невырожденный опорный план, которому соответствует значение целевой функции:
F1 = 
Найдем потенциалы банков и предприятий (из условия, что для каждой загруженной клетки Ui +Vj = сij)
| U1+ V1 = 15, | U4 + V1 = 18, |
| U1 + V2 = 20, | U4 + V3 = 20, |
| U2 +V1 = 19, | U5 + V1 = 0. |
| U3 + V3 = 21, |
Поскольку число уравнений на единицу меньше числа потенциалов, то одному из них придадим произвольное значение. Положим, например, V1=0. Все остальные потенциалы определяются однозначно:
U1= 15; U2 =19; U3 += 19; U4 =18; U5 = 0; V1= 0; V2 = 5; V3 = 2.
Определяем оценки свободных клеток: Sij = Сij –(Ui +Vj):
| S53 = 0 - (0 + 2) = -2, | S23 = 16 - (19 + 2) = - 5, |
| S22 = 17 - (19 + 5) = -7, | S13 = 18 - (15 + 2) = 1, |
| S31 = 12 - (19 + 0) = -7, | S32 = 14 - (19 + 5) = - l 0, |
| S42 = 15 - (18 + 5) = -8, | S52 = 0 - (0 + 5) = - 5. |
Полученный план не оптимален, так как среди оценок свободных клеток имеется положительная S13 =1. Необходимо загрузить клетку (1,3). Построим замкнутый цикл для клетки (1,3).
В отрицательных вершинах цикла наименьшее количество кредита равно
min (40,50) = 40. Получаем новый план распределения кредитов.
Таблица 12
|
| B1 | B2 | B3 | аi | Ui | |||
| A1 |
| |||||||
| A2 | 16
| |||||||
| A3 | ||||||||
| A4 | ||||||||
| A5 | ||||||||
| bj | ||||||||
| Vj |
Получен опорный план, которому соответствует значение целевой функции:
F2 = 
Найдем потенциалы банков и предприятий.
| U1+ V2 = 20, | U4 + V1 = 18, |
| U1 + V3 = 18, | U4 + V3 = 20, |
| U2 + V1 = 19, | U5 + V1 = 0. |
| U3 + V3 = 21, |
U1= 16; U2 =19; U3 = 19; U4 =18; U5 = 0; V1= 0; V2 = 4; V3 = 2.
Определяем оценки свободных клеток.
| S11 = 15 - (16 + 0) = -1, | S31 = 12 - (19 + 0) = - 7, |
| S22 = 17 - (19 + 4) = -5, | S42 = 15 - (18 + 4) = - 7, |
| S23 = 16 - (19 + 2) = -5, | S52 = 0 - (0 + 4) = - 4, |
| S53 = 0 - (0 + 2) = -2, | S32 = 14 - (19 + 4) = - 9. |
Так как все оценки клеток отрицательные, то полученный план размещения кредитов оптимален, а так как среди оценок нет нулевых, то оптимальный план и единственный.
3) Недополучит кредит предприятие В1 в объеме 50 млн ден.ед.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузнецов, А. В. Высшая математика. Математическое программирование: учебник. / А. В. Кузнецов, В. А Сакович, Н. И. Холод; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2001. – 351 с.
2. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическое программирование: учеб. пособие / А.В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод и др.; под общ. ред. А. А. Кузнецова, Р. А. Рутковкого. – 2–е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2002. – 447 с.
3. Кузнецов, А. В. Руководство к решению задач по математическому программированию: учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод, Л. С. Костевич; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – 2–е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш. шк., 2001. – 448 с.
4. Костевич, Л. С. Математическое программирование. Информ. технологии оптимальных решений: учебн. пособие / Л. С. Костевич. – Минск: Новое знание, 2003. – 424 с.
5. Курицкий, Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. / Б. Я. Курицкий. – Санкт–Петербург, 1997. – 384 с.
Учебное издание
