Экстремумы функции

Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда

§ x ₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

§ x ₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то x ₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

§ x ₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

§ x ₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f (x ₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

[править]Замечание

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

[править]Необходимые условия существования локальных экстремумов

§ Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x ₀. Тогда:

.

§ Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

[править]Достаточные условия существования локальных экстремумов

§ Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

x ₀ является точкой строгого локального максимума. А если

то x ₀ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x ₀

§ Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x ₀. Тогда при условии

и

x ₀ является точкой локального максимума. А если

и

то x ₀ является точкой локального минимума.