Интерполяционная формула Ньютона

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) в другой форме:

где разность , есть многочлен степени k, обращающийся в нуль в точках x₀,¼,x_k-1. Поэтому можно записать

Константу B найдем, полагая x=x_k, т.е.

Þ

где - есть разностное отношение k-го порядка.

Учитывая выражение для В интерполяционный многочлен можно представить в виде

.

Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков. Многочлен Ньютона имеет степень равную n и удовлетворяет условию

.

Формула Ньютона имеет более сложное строение, чем формула Лагранжа, и требует составления разностных отношений , . Несмотря на это, она более удобна для вычислений, т.к. при добавлении нового узла все проделанные вычисления сохраняются, а в формуле добавляется еще одно слагаемое .

Это позволяет не задавать заранее число узлов интерполирования, а постепенно увеличивать точность результата, добавляя последовательно по одному новому узлу.

Остаточный член формулы Ньютона совпадает с остаточным членом формулы Лагранжа, т.е.

где x - точка отрезка, содержащего узлы интерполирования и точку х. Из свойств разностных отношений следует

.

Тогда для остаточного члена имеем: .