Задачи 11-20

Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Кривые второго порядка»

1. Что называется кривой второго порядка?

2. Канонические уравнения кривых второго порядка. Графики этих кривых:

а) окружность:

б) эллипс: ;

в) гипербола: ;

г) парабола: (с осью симметрии Оу),

(с осью симметрии Ох).

З. Параллельный перенос системы координат. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Указанные виды кривых исчерпывают все виды кривых второго порядка (исключая случаи вырождения).

В результате решения задачи вы должны получить одну из названных кривых и построить ее в прямоугольной системе координат.

Задача. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;0) и до прямой равно .

Решение. Построим в системе координат точку F(5;0) и вертикальную прямую Х=1(рис.2).

Рис.2.

Пусть М (х,у) - произвольная (текущая) точка искомой линии.

На рис. 2 изображены расстояния от этой точки до заданной точ­ки F, то есть MF, и до заданной прямой: х=1, то есть MN. Обратите внимание, что MN - перпендикуляр к заданной прямой и поэтому точ­ка N имеет (как и точка М) ординату, равную у: N(1;у).

По условию задачи

Выразим длины отрезков MF и MN через координаты их концов по формуле расстояния между точками:

;

Тогда по условию

Это и есть уравнение искомой линии. Упростим его, возведя в квадрат обе части уравнения и сделав другие преобразования: ; ; ;

Разделим обе части уравнения на 20:

Это каноническое уравнение гиперболы. Из него видно, что дей­ствительная полуось гиперболы 2,25, мнимая полуось .

Центр симметрии гиперболы находится в начале координат. Для построения гиперболы отложим на осях координат в обе стороны от начала координат полуоси гиперболы и .

Через полученные точки «-а» и «а» на оси Ох и точки «-b» и «b» на оси Оу построим вспомогательный прямоугольник (рис. 3). Проведем диагонали этого прямоугольника, которые являются асим­птотами гиперболы: к ним будут неограниченно приближаться ветви гиперболы, Построим кривую, как указано на рис. 3. Задача решена.

Рис. 3

Замечание. Если бы в этой задаче после преобразований вы получили уравнение

, то оно определяет эллипс, порядок построения которого ясен из рис.4.

Рис.4

Замечание. Если в задаче вашего варианта после преобразований в уравнении наряду с членами и присутствуют члены, содержа­щие первые степени или , то следует выделить полный квадрат (соответственно по или по ).

Например, в уравнении выделим полный квадрат по , для чего прибавим и отнимем половину коэффициента при , возве­денную в квадрат:

Обозначим ; , тогда или - это ка­ноническое уравнение параболы.

Построим новые оси и , которые смещены относительно старых осей и так, что новое начало координат будет нахо­диться в точке , где и расположена вершина параболы. Ось симметрии параболы , ветви ее направлены вверх, так как коэф­фициент при положительный.

Полезно найти точки пересечения параболы со стары­ми осями координат и .

При получим , откуда , таким образом, пара­бола проходит через точку - в старой системе координат.

При получаем уравнение , откуда т.е. пара­бола пересекает ось в точках и (8;0) (рис.5)

Рис.5