Основные свойства функции распределения. 1. Функция распределения является неубывающей, т

1. Функция распределения является неубывающей, т. е. если x ₁ < x ₂, то .

2. .

3. Если возможные значения случайной величины , то при , , .

4. Вероятность того, что значение случайной величины X окажется на заданном интервале (a; b) определяется формулой

. (41)

Функция распределения F (x) для дискретной случайной величины X, которая может принимать значения x ₁, x ₂, …, x_n с соответствующими вероятностями, имеет следующий вид:

, (42)

где символ означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше x.

Пример 2.4. Найти функцию распределения случайной величины, если закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:

Х
Р	0,2	0,4	0,3	0,1

Решение.

1. При .

, так как величина X не принимает значений меньше 0.

2. При .

3. При .

4. При .

F (x) = = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0,2 + 0,4 + 0,3 =
= 0,9.

5. При x > 3.

F (x) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0,2 + 0,4 + 0,3 +
+ 0,1 = 1.

График функции F (x) отражен на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Вероятность попадания случайной величины X в интервал (2;5) равна P (2 < X < 5) = F (5) – F (2) = 1 – 0,6 = 0,4.

Пример 2.5. Охотник имеет 4 патрона и стреляет до первого попадания в цель (или пока не израсходуются патроны). Найти функцию распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.

Решение. Вероятность попадания р = 0,25, следовательно q = 0,75.

Случайная величина X (число израсходованных патронов) имеет следующие значения: x ₁ = 1 (одно попадание), x ₂ = 2 (один промах и одно попадание), x ₃ = 3 (два промаха и одно попадание), x ₄ = 4 (три промаха и одно попадание или четыре промаха).

Найдем вероятность того, что стрельба закончится при четвертом выстреле, т. е. первые три выстрела дали промахи, а четвертый выстрел – попадание. Так как события независимы, то искомая вероятность p = q · q · q · p = q ³ · p. Тогда искомый закон распределения запишем в виде следующей таблицы: