2015-04-20
12050
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Целесообразнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые давали бы в сжатой форме достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называют числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков.
Математическим ожиданием M (x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
. (43)
Дисперсией D (x) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
. (44)
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:
. (45)
Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию v 1 = M (X).
|
|
|
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины [ X – M (X)]k:
. (46)
Центральный момент второго порядка равен дисперсии D (X):
.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1) математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной: M (C) = C;
2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX) = C · M (X);
3) математическое ожидание отклонения равно 0: M [ X – M (X)] = 0;
4) M (X + Y) = M (X) + M (Y);
5) M (X · Y) = M (X) · M (Y).
Математическое ожидание – это среднее значение данной случайной величины, центр ее распределения.
Другой важной характеристикой случайной величины является дисперсия, которая служит мерой рассеивания данной случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.
Дисперсия случайной величины обладает свойствами:
1) дисперсия постоянной равна 0: D (С) = 0;
2) постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D (CX) = C 2 D (X);
3) если X и Y независимые случайные величины, тогда
D (X + Y) = D (X) + D (Y); D (X – Y) = D (X) + D (Y);
4) дисперсия случайной величины X равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата ее математического ожидания:
D (X) = M (X 2) – [ M (X)]2.
Среднее квадратическое отклонение (
) вычисляется по формуле
. (47)
Пример 2.6. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:
| X | ||||
| P | 0,3 | 0,1 | 0,4 | 0,2 |
Решение. Найдем дисперсию случайной величины двумя способами.
1. Математическое ожидание (начальный момент первого порядка) равен M (X) = n1 = 1 · 0,3 + 2 · 0,1 + 3 · 0,4 + 4 · 0,2 = 2,5.
|
|
|
Вычислим начальный момент третьего порядка: n3 = M (X 3) = 13 · 0,3 +
+ 23 · 0,1 + 33 · 0,4 + 43 · 0,2 = 24,7.
Рассчитаем дисперсию (центральный момент второго порядка):
D (X) = m2 = (1 – 2,5)2 · 0,3 + (2 – 2,5)2 · 0,1 + (3 – 2,5)2 · 0,4 + (4 –
– 2,5)2 · 0,2 = 1,25.
2. Второй способ вычисления дисперсии основан на свойстве 4:
D (X) = M (X 2) – [ M (X)]2.
Так как M (X 2) = 1 · 0,3 + 22 · 0,1 + 32 · 0,4 + 42 · 0,2 = 7,5 то D (X) =
= 7,5 – (2,5)2 = 1,25.
Используя формулу (46) определим центральный момент третьего порядка: m3 = (1 – 2,5)3 · 0,3 + (2 – 2,5)3 · 0,1 + (3 – 2,5)3 · 0,4 + (4 –
– 2,5)3 · 0,2 = 17,425.
Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины, подчиняющейся биномиальному распределению. В этом случае возможными значениями случайной величины X являются 0, 1, 2, …, n, а вероятности вычисляются по формуле Бернулли. Запишем биномиальный закон в виде следующей таблицы:
| X | … | k | … | n | |||
| P | qn | 
| 
| … | 
| … | pn |
Запишем выражение начального момента первого порядка (математическое ожидание):
.
Дисперсия (центральный момент второго порядка) может быть вычислена по следующей формуле:
D (X) = m2 = M (X 2) – [ M (X)]2 = npq. (48)
Распределение Пуассона, задается в виде следующего закона распределения:
| X | … | k | … | |||
| P | e –l | l e –l | l2 e –l / 2! | … | l ke –l / k! | … |
Отличительной особенностью распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии:
M (X) = D (X) = l = np. (49)
Пример 2.7. Два стрелка стреляют в цель, выбивая очки от 0 до 5. Определить, какой стрелок стреляет лучше, если:
· для первого стрелка величина X (число выбиваемых очков) задается следующим законом распределения:
| X | ||||||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
· для второго стрелка величина X задается законом распределения:
| X | ||||||
| P | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
Решение. Для определения лучшего стрелка нужно найти средние значения выбиваемых очков, с учетом соответствующих вероятностей, для каждого стрелка:
· для первого стрелка:
M (X 1) = 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,1 + 3 · 0,3 + 4 · 0,1 + 5 · 0,2 = 2,7.
· для второго стрелка:
M (X 2) = 0 · 0,1 + 1 · 0,1 + 2 · 0,3 + 3 · 0,2 + 4 · 0,2 + 5 · 0,1 = 2,6.
Так как первый стрелок выбивает в среднем 2,7 очка, а второй 2,6, следовательно, первый стрелок стреляет лучше.
Для того, чтобы оценить у какого стрелка рассеяние меньше, рассчитаем дисперсию каждого стрелка:
D (X 1) = 1 · 0,2 + 4 · 0,1 + 9 · 0,3 + 16 · 0,1 + 25 · 0,2 – 2,72 = 9,9 – 7,29 =
= 2,61.
D (X 2) = 1 · 0,1 + 4 · 0,3 + 9 · 0,2 + 16 · 0,2 + 25 · 0,1 – 2,62 = 8,8 – 6,76 =
= 2,04.
Следовательно, второй стрелок стреляет более “кучно”, так как его дисперсия меньше.
Пример 2.8. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартные. Наудачу отобраны 2 детали. Найти начальный момент первого и третьего порядка и центральные моменты второго и третьего порядка дискретной случайной величины X (число нестандартных деталей среди отобранных).
Решение. Закон распределения может быть задан в виде следующей таблицы:
| X | |||
| P | 21/45 | 21/45 | 3/45 |
; 
;
;
;
.
Пример 2.9. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Z = 2 X + Y, если известно, что M (X) = 2, M (Y) = 5.
Решение. Согласно свойствам математического ожидания
M (Z) = M (2 X + Y) = M (2 X) + M (Y) = 2 M (X) + M (Y) = 2 · 2 + 5 = 9.
Пример 2.10. Производятся независимые опыты, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p. Опыты продолжаются до первого появления события A. Найти математическое ожидание случайной величины X (число произведенных опытов).
Решение. Возможные значения этой случайной величины xn = n,
n = 1, 2, 3, …. Событие X = n означает, что в первых n – 1 опытах событие A не наступит, а в n -ом опыте наступит. Вероятность такого исхода равна
.
Следовательно, закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы
| X | … | n | … | |||
| P | p | pq | pq 2 | … | pqn –1 | … |
M (X) = 1 · p + 2 pq + 3 pq 2 + … + npqn –1 + … = p (1 + 2 q + 3 q 2 + … +
+ nqn –1 + …).
Ряд, записанный в скобках, получается дифференцированием геометрического ряда 
.
|
|
|
Следовательно, 
.
