Система m линейных уравнений с m неизвестными имеет вид:
.
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных
,
называется главным определителем системы.
Если Δ≠0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:
, где i=1,2,…, m.
Определители Δxi получаются из главного определителя системы путем замещения элементов i-го столбца столбцом свободных членов.
Пример. Решить систему уравнений
. (1)
Другим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса или метод исключения, который состоит из двух этапов. На первом этапе путем линейных преобразований уравнений системы заданная система приводится к ступенчатому, в частности, треугольному виду; на втором этапе определяются значения неизвестных. В качестве примера решим систему (1) методом Гаусса.
Разделим все члены первого уравнения системы (1) на коэффициент а 11=2. Получим систему
. (2)
Умножим все члены первого уравнения на 3 и вычтем их из второго уравнения, затем из третьего уравнения вычтем первое, само первое уравнение системы (2) оставим без изменения. Тогда будем иметь
. (3)
Разделим все члены второго уравнения на 0,5:
. (4)
Умножим второе уравнение на -0,5 и вычтем его из третьего, при этом первое и второе уравнения системы (4) оставим без изменения
. (5)
На этом завершен так называемый прямой ход метода Гаусса. Неизвестные находятся в обратной последовательности. Из последнего уравнения находим х 3=3, из второго следует х 2, из первого х 1=0,5-0,5∙2+0,5∙3=1.
Замечания. Следует иметь в виду, что если главный определитель системы Δ≠0, то система имеет единственное решение. Если Δ=0, но хотя бы один из определителей Δ х i ≠0, то система не имеет решений. Если Δ=0 и все определители Δ х i =0, то система имеет бесчисленное множество решений.
______________
1.2.1. Решить системы уравнений по правилу Крамера:
а) ; б) ; в) .
Ответ: а) (0;2); б) (5;6;10); в) (-1;0;1).
1.2.2. Решить систему уравнений двумя способами: по правилу Крамера и методом Гаусса.
.
Ответ: (2;-1;-3).
1.2.3. Решить системы уравнений методом Гаусса
а) ; б) ;
в) .
Ответ: а) решений нет; б) решений бесконечное множество;
в) (1;-1;2;3).
____________
1.2.4. Решить системы уравнений по правилу Крамера
а) ; б) .
Ответ: а) (5;-4); б) (2;-5;3).
1.2.5. Решить систему уравнений двумя способами
.
Ответ: (2;1;3).
1.2.6. Решить систему методом Гаусса
.
Ответ: (3;-4;-1;1).