Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

Определение. Для линейного уравнения второго порядка

соответствующим однородным уравнением называется уравнение

Можно доказать, что относительно структуры общего решения неоднородного линейного уравнения справедлива следующая

Теорема 4. Общее решение неоднородного уравнения представимо суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения : .

Доказательство. Поскольку

то действительно является решением неоднородного уравнения. Далее, зависит от произвольных постоянных и , поскольку от них зависит функция .

Остается убедиться, что за счет выбора значений этих постоянных можно получить решение задачи Коши с любыми наперед заданными начальными условиями . Поскольку — общее решение соответствующего однородного уравнения, то можно выбрать такие значения постоянных и , при которых