2015-05-14
1390
Это метод отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
в случае, когда правая часть 
имеет специальный вид, самая общая запись которого:
, (26)
где 
– многочлены степени 
и 
соответственно:
.
Укажем характерные частные случаи функции (26).
1. 
. В этом случае правая часть 
является многочленом (поскольку 
). Например:
1) 
;
2) 
.
2. 
. В этом случае 
. Например:
3. 
. В этом случае 
. Например:
4. 
. В этом случае 
. В частности, если степень многочлена 
, то многочлен является постоянным числом: 
Например:
5. 
. В этом случае 
. Например:
Рассмотрим комплексное число 
, где 
и 
берутся из записи (26) правой части неоднородного уравнения. Корни характеристического уравнения 
записываются в виде
,
где 
– дискриминант уравнения.
Кратность 
числа 
как корня характеристического уравнения может иметь одно из трех значений:
1) 
; это означает, что не является корнем характеристического уравнения;
2) 
; это означает, что является простым корнем характеристического уравнения; при этом дискриминант уравнения отличен от нуля;
|
|
|
3) 
, то есть — кратный корень; последнее возможно в том и только том случае, когда 
; корень при этом вещественный, так как его мнимая часть 
.
На практике для определения кратности нужно решить (квадратное) характеристическое уравнение и сравнить его корни с числом .
Пусть 
– максимальная из степеней и многочленов 
и 
в записи правой части (26).
Можно убедиться непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение, что функция
, (27)
где 
и 
– многочлены степени :
,
,
при некоторых значениях коэффициентов 
этих многочленов является частным решением неоднородного уравнения. Для отыскания этих (неопределенных вначале) коэффициентов у функции (27) вычисляются первая и вторая производные; затем 
подставляются в исходное уравнение, после чего приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях-слагаемых обеих частей равенства. Это дает систему уравнений для отыскания коэффициентов .
В итоге отыскание частного решения проводится по следующему алгоритму:
1. Нахождение корней характеристического уравнения.
2. Определение величин 
.
3. Выявление кратности числа 
как корня характеристического уравнения.
4. Запись частного решения 
в виде (27) с неопределенными коэффициентами многочленов 
.
5. Вычисление производных 
.
6. Подстановка в дифференциальное уравнение.
7. Приравнивание коэффициентов при одинаковых функциях в обеих частях равенства.
8. Решение получившейся системы уравнений, получение коэффициентов многочленов .
9. Запись частного решения с найденными коэффициентами.
|
|
|
После этого можно записать общее решение в виде 
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение 
.
Выполняем последовательно инструкции алгоритма:
1. 
. Общее решение соответствующего однородного уравнения: 
.
2. Находим параметры правой части:
3. 
; кратность .
4. 
.
5. 
.
6. Подставляем в уравнение: 
.
7. 
;
8. 
; 
.
9. 
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.
2. Рассмотрим уравнение
.
Выполняем последовательно инструкции алгоритма:
1. 
. Общее решение соответствующего однородного уравнения: 
.
2. Находим параметры правой части:
3. 
; кратность .
4. 
;
5. 
;
.
6. Подставляем в уравнение:
.
7. Приводим подобные члены и приравниваем коэффициенты при
, при 
и при 
:
8. Решаем систему: 
.
9. 
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.
3. Рассмотрим уравнение 
.
1. 
. Общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
2. Находим параметры правой части:
;
.
3. 
; кратность .
4. 
;
5. 
;
.
6. Подставляем в уравнение:
;
.
7. Приравниваем коэффициенты при 
и при 
:
8. 
.
9. 
.
Общее решение неоднородного уравнения:
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1-2.- Интеграл-Пресс, 2005. – 416 с.
2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах,
часть 1,2. М.: "Оникс 21 век". – 2003.
3. Волков Н.И., Голоскоков П.Г., Шкадова А.Р. Матрицы, опреде-
лители и системы линейных уравнений. Учебное пособие. – СПб.:
СПбГУВК. – 2006.
4. Ястребов М.Ю. Производная и исследование функций. СПб.: СПГУВК, 2003. – 45 с.
5. Ястребов М.Ю. Неопределенный и определенный интегралы. СПб.: СПГУВК, 2004. – 55 с.
6. Ястребов М.Ю. Функции нескольких переменных. СПб.: СПГУВК, 2006. – 48 с.
7. Лащенов В.К. Комплексные числа. СПб.: СПГУВК, 2010. – 8 с.
