Формулы и свойства степеней

(степени с целыми показателями)

a ¹ = а, a ⁰ = 1 (a ≠ 0), a ^-n = 1/a ⁿ.

1° a ^m a ⁿ = a ^m+n;

2° a ^m /a ⁿ = a ^m-n;

3° (ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ;

4° (a ^m) ⁿ = a ^mn;

5° (a/b) ⁿ = a ⁿ /b ⁿ.

36Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции чаще всего используется график функции. В некоторых случаях можно найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика, используя рассуждения. В более сложных случаях используется производная. Для этого сформулируем некоторые теоремы:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции f(x) на отрезке [a;b]:

1. Найти производную f′(x).

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b].

3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет yнаим) и наибольшее (это будет yнаиб).

А как быть, если речь идет о нахождении наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, например на интервале? Можно построить график функции и снять информацию с полученной графической модели. Но чаще оказывается более удобным использовать следующую теорему.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x0. Тогда:

а) если x=x0 — точка максимума, то yнаиб=f(xo);

б) если x=x0 — точка минимума, то yнаим=f(xo).

На рисунках приведены соответствующие геометрические иллюстрации.

37 Логарифмическое уравнение - это такое уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Пример

Задание. Прологарифмировать выражение

Решение. В левой и правой части допишем логарифм по основанию :

По свойствам логарифмов логарифм произведения, стоящий в правой части, представим как сумму логарифмов от каждого из сомножителей, то есть:

38 Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.

Определение производной функции через предел[править | править вики-текст]

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции в точке [править | править вики-текст]