Числовой последовательности

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Элемент называется первым членом последовательности, - вторым,..., - -ым или общим членом последовательности.

Задание. Для последовательности определить, чему равен третий член

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что

Ответ.

17 Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда

· называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

· называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

· называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

· называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

-----18V, где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥. Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенств равносильно системе: Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств. 1. Решим неравенство: Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе: Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля. Решим систему неравенств: Корни квадратного трехчлена:, Отсюда: Ответ:

19 Логарифмом числа по основанию () называется такое число , что , то есть записи и равносильны. Логарифм имеет смысл, если .

Если немного перефразировать - Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число (Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Специальные обозначения:

1. Натуральный логарифм - логарифм по основанию , где - число Эйлера.

2. Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1° - основное логарифмическое тождество.

2°

3°

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4° - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

9° - переход к новому основанию.

20Считаю немного преждевременным рассказать про разбиения отрезка и предел интегральных сумм, поэтому пока я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.

С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

21 Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

где С — произвольная постоянная.

Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

---22Дифференцирование – это вычисление производной. Основные формулы дифференцирования – в таблице. Их необязательно зазубривать. Поняв некоторые закономерности, вы сможете из одних формул самостоятельно выводить другие.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х _o называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x _o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке х _o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х _o бесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ¢, f ¢ (x _o), , .