Диффузия. Коэффициент диффузии

Случайные блуждания отдельных частиц можно рассматривать и с другой точки зрения, как результирующий эффект при перемещении большого числа частиц. В этом случае возникает понятие коэффициента диффузии. В соответствии с молекулярно-кинетической теорией, коэффициент диффузии – это коэффициент пропорциональности между потоком частиц на единицу площади (j) и градиентом концентрации (dn/dx) в одномерном случае j = D dn/dx.

Тогда выражение для потока частиц J в единицу времени через заданную границу в одном направлении дает отношение числа частиц в объеме Sl (l = vdt) к времени dt. Интерпретация: при случайных блужданиях все частицы случайным образом распределяются по 6 направлениям (в трехмерном случае), пролетая до следующего возможного изменения скорости расстояние l (по определению длины свободного пробега) с характерной скоростью v (mv²/2 = 3/2 kT, для уточнения оценок нужно учесть распределение молекул по скоростям, такое уточнение дано в учебниках физики).

Поток на единицу площади j = J/S = n S vdt/Sdt = nv, где n – концентрация частиц в единице объема. Используя аналогичное выражение для обратного потока, получим результирующий поток j = Dn v, где Dn – изменение концентрации на расстоянии l. Выделяя градиент концентрации как dn/dx = Dn/l, получим выражение, связывающее поток с градиентом концентрации и определение коэффициента диффузии D = l v (с точностью до множителя порядка единицы, более точное выражение D = l v/3).

При случайных блужданиях молекул квадрат проходимого расстояния пропорционален времени, т.е. <x²> = at.

Определим коэффициент а, рассматривая время, за которое сделан один шаг (т.е. пройдена длина свободного пробега l. Тогда <x²> = l². С другой стороны та же величина <x²> = at = al/v. Отсюда (при одномерном блуждании) a = lv = D, т.е. квадрат пройденного расстояния дает величина R² = Dt. При размерности d: R² = d D t (с точностью до множителя поря

дка единицы, более точное выражение для R: R² = 2 d D t, т.е. R = (2 d D t)^1/2, Сивухин, т.2, с.213)

В этой же связи можно представить пройденное при случайных блужданиях расстояние R в зависимости от числа шагов N: R = l (N)^1/2, l – длина одного шага. Это же и формула для ошибки при случайных измерениях, если вместо R, N и l подставить соответственно результирующую ошибку, число измерений и ошибку при одном измерении.

Пример. Шкала расстояний и времени при случайном блуждании частиц на примере диффузии из радиального сосуда (П) кровеносного капилляра радиуса 8 мкм

Расстояние от исходной точки, на котором будет находиться молекула сахарозы (коэффициент диффузии для нее D = 4,6 10^–6 см² с^–1) через 10^–8, 10^–6, 10^–4, 10^–2, 10⁰, 10², 10⁴ с (это случай двумерных блужданий, поэтому для 10⁰ с расстояние 4,3 10^–3 см и т.д.).