Cлучайные блуждания и диффузия в связи со структурой

Среди вариабельных частей аминокислот данного белка есть гидрофильные и гидрофобные.

Гидрофобные в воде слипаются друг с другом, вынуждая всю молекулу собираться в компактный комок (или глобулу, от английского слова globular - шарообразный), состоящий из нескольких соединенных между собой участков вторичной структуры. Противоположный вариант – вытянутая молекула (фибрилла).

Это третичная структура белка (обычно она дополнительно укрепляется за счет образования химических связей между остатками аминокислоты цистеина, при этом получаются «мостики» из соединенных атомов серы).

Наконец, иногда образуется сложная глобула, состоящая из нескольких слипшихся между собой глобул и/или фибрилл. Это четвертичная структура белка.

В общем случае можно говорить о третичной и четвертичной структуре нерегулярного полимера.

Пространственную структуру биополимеров можно анализировать в пределе отсутствия слабых связей, рассматривая ее как аналог траектории частицы при случайном блуждании – диффузии. Похожее представление применимо и шире для более сложной структуры, когда более крупные фрагменты – это элементы вторичной структуры. Тогда аналогия в связи со случайными блужданиями возникает применительно к более крупным частям молекулы.

Рассмотрим случайные блуждания (как диффузию), начиная с одномерного случая (x_t – линейная координата в момент времени t)

0 x_t x_t+t

В момент времени t +t (учитывая независимость перемещения за данный интервал времени от перемещения за предшествующий интервал времени): x_t+t = x_t + x_t

После возведения в квадрат и усреднения (обозначаемого угловыми скобками): <x_t+t²>= <x_t²> + 2<x_t x_t> + <x_t²> = <x_t²> + <x_t²>

Для функции x_tºf(t) получаем функциональное уравнение f(t +t) = f(t) + f(t), из которого следует, что f(t +t) =const (t +t). Следовательно, <x_t²> пропорционально t, т.е. f(t) = at, где a – некоторая константа.

В 3-х мерном случае <r²> = <x²> + <y²> + <z²> = 3<x²>, т.к. в силу симметрии <x²> = <y²> = <z²>. Следовательно, в выражении для <r²> коэффициент пропорциональности при t линейно зависит от размерности пространства d: <r²> = a d t.