Предел функции. Свойства пределов. Правило Лопиталя

Определение. Постоянная А называется пределом функции f(x) при

х а, если для любого сколь угодного малого положительного числа Е можно указать такое положительное число t, что неравенство f(x) – A < E выполняется для всех х, удовлетворяющих условию о < x – a < a.

Обозначим lim xn = m, тогда xn – бесконечно большая величина.

n-oo

Если lim xn = 0, то xn – бесконечно малая величина.

n-oo

Свойства пределов:

1. предел суммы переменных равен сумме пределов этих переменных

lim (xn + уn) = lim xn + lim уn;

2. предел произведения переменных равен произведению пределов этих переменных;

3. постоянный множитель можно вынести за знак предела

lim (4*xn) = 4 lim xn.

2 2 2 2

Пример. Найти lim 5х – 4х + 2/3х + х – 3 = lim 5х – 4х + 2/ lim 3х + х – 3 =

х-oo х-oo х-оо

= 5 – 4 + 2/3 + 1 – 3 = 3/1 = 3.

Здесь сразу находится предел, однако на практике чаще всего при подстановке возникают следующие неопределенности различных видов:

оо

/: 1; m и т.д.

Тогда приходится преобразовывать или применять другие методы.

2 2 2 2 2

Пример. lim х – 9/2х + 9х + 9 = 0/0 c х –9 = х – 3 = (х – 3) (х + 3) c

х - -3

2х + 9х + 9 = 0

х1/2 = -9 m 81 – 4*2*9/4 = -9 +/- 3/4 х1 = -1,5; х2 = -3;

lim (х – 3) (х + 3) / 2(х + 1,5) (х + 3) = -6/2 (-3 + 1,5) = -6/-3 = 2.

х - -3

Правило Лопиталя. При раскрытии неопределенностей о/о и /, применяется правило Лопиталя, по которому lim f(х) / g(х) =

х – a

lim f(x)/g(x), если f(x) и g(x) – существующие функции.

х – a х х

Пример. Найти lim (x)/(е) = lim 1/е = 0.

х-oo х-oo