Производная высших порядков

Если f(x) = y – дифференцируема на отрезке (а,в), тогда ее производная тоже имеет производную, она называется второй производной и обозначается - у у хх. Производная от у хх называется третьей производной и обозначается –

у ххх и т.д.

3 2

Пример. у = х – 3х + 2х – 5

V / 2 // /// /V V

у -? yx = 3x – 6x + 2 yxx = 6x - 6 yx = -6 y = y = 0

Применение понятия производной в последовании экономических процессов.

а) Как известно, в экономике чаще всего стоит вопрос нахождения максимальной прибыли и минимального расхода. Это ничто иное как экстремумы, которые находятся через производные, приравненные к нулю.

у = f(x), f(x) = 0 c x – критическая точка;

f(x) > 0 c x – min;

f(x) < 0 c x – max.

Пример. Пусть F(x) = 0,01х + 2х – функция дохода от продажи х – единиц продукции. Найти, при каком х – будет максимальная прибыль и размер дохода.

Решение: F(x) = - 0,02х + 2 = 0

-0,02х = -2 х = 100

// /

F (x) = (-0,02х + 2) = -0,02 < 0 – max;

F(100) = -0,01 * 100 + 2 * 100 = 100;

b) Функция, отесывающая зависимость между издержками при производстве определенного товара и произведенным количеством его, т.е. объемом производства называется функцией издержек;

k (ден. ед.) – суммарные издержки по производству х – ед. товара. Тогда функция суммарных издержек выглядит в виде k = k (x). х – изменение количества продукции, k – приращение издержек производства.

Тогда k / x – приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Определение. Предельными издержками производства называется производная /

k(x) = lim k / x.

x – 0

Аналогично определяются предельные выручка, доход, полезность и др.

Пример. Пусть издержки производства зависят от объема продукции – х.

k(x) = 80x – 0,02х. Определить предельные издержки, если х = 5 у.е.

Решение: k (x) = 80 – 0,04х;

k (5) = 80 – 0,04 * 5 = 79,80 (у.е.).

Это означает, что при объеме производства 5 у.е., издержки по изготовлению следующей единицы продукции составят 79,80 у.е.

с) В решении прикладных задач в экономике используется понятие эластичности функции, которая находится с помощью производной. Коэффициент эластичности показывает, как относится изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит.

Например, как зависит изменение спроса по изменению дохода или цены. Математическую эластичность обозначают: /

b = lim y/ x * x/y = yx * x/y

x – 0

0,3

Пример. Имеется функция Энгеля: у = 0,01х, где х – доход, у – спрос по доходу. Найти эластичность спроса по доходу.

Решение: / 0,3 / -0,7 0,3

b = ух * х/у = (0,01х) * х/у = 0,01 * 0,3х * х/у = 0,01 * 0,3х /у = =0,03 у/у = 0,3 %.

Это означает, что b = 0,3%, т.е. изменение дохода на 1% вызывает изменение спроса на 0,3%. -2р

Пример. Имеется функция спроса q = a*e, а – const, p – цена. Найти b спроса по цене при условии, что цена 3 у.е.

/ / -2p / / -2p -2p

b = q/p * p/q = (a * e) * p/q = a(-2p) e = -2a *e * p/q = -2p * q/q = -2p.

b(3) = -2*3 = -6%.

Это означает, что при повышении цены на 1%, спрос понижается.

Наряду со спросом, экономистов интересует выручка, как при изменении цены на товар изменится выручка.

Зная эластичность спроса при изменении цены можно найти эластичность выручки по формуле: g (-p) = 1 + b(p), где b(p) – эластичность спроса по цене.

Пример. Рассмотрим функцию спроса на сахар в США: 2,06 -0,38

D(p) = 10 * p.

Найти g выручки по цене.

Найти сначала: / 2,06 -0,38 /

b (p) = (10 * p) * p/D(p) =

2,06 -1,38

= 10 * (-0,38) p * p/D(p) = -0,38%.

g (p) = 1 + (-0,38) = 0,62%.

Это означает, что при росте цены на сахар на 1%, спрос на него падает на 0,38%, а выручка вырастет на 0,62%.

Примечание. Если эластичность экономического показателя по модулю больше

1 (b > 1), то показатель называется эластичным. Иначе b < 1, то

показатель неэластичный.

С эластичностью тесно связано такое понятие как агрегированность блага. Степень агрегированности определяется широтой данного блага, например: благо «молочные продукты» включает в себя молоко, кефир, сметану и т.д. Чем выше степень агрегированности блага, тем ниже эластичность спроса на это благо. Например, эластичность спроса на моющие средства ниже, чем эластичность порошка марки «АRIEL». Объяснение этому дает то, что при высокой степени агрегированности можно заменить один компонент на любой другой, идентичный ему. Степень агрегированности особенно важна при определении ценовой и налоговой политики. Так, например, эластичность водки низкая и казалось бы, что увеличение акцизов на нее должно привести к увеличению поступления в бюджет (поскольку при неэластичном спросе выручка растет с увеличением цены). Однако повышение акцизов до 90% в 1993 году привело к снижению спроса на отечественную ликеро-водочную продукцию. Причина – неправильное определение степени агрегированности водки и в данное время в торговой сети заняла место импортная водка. Через несколько месяцев акцизы на отечественную водку снизили до 85%, а на импортную повысили до 250%. Подобные провалы происходили не только в постсоветских государствах, но и в странах с развитой экономикой. Например в США, в одном из штатов ввели 6% налог на бензин, эластичность которого составляла 2%. Это привело к 33% падению спроса, что соответствовало эластичности 5,5%. Причина – замена бензина на более дешевый из соседних штатов.

Перечень основных понятий: Производная от функции f(x). Производная функции от одной переменной. Вторая производная. Третья производная. Производная сложной функции. Производная высших порядков. Предельные издержки производства. Эластичность спроса.

Ключевые моменты: Производная от функции f(x). Производная функции от одной переменной. Механический смысл производной. Правила дифференцирования. Вторая производная. Основные формулы дифференцирования. Третья производная. Производная сложной функции. Производная высших порядков. Применение понятия производной в последовании экономических процессов. Предельные издержки производства. Эластичность спроса.

Вопросы к самопроверке:

1. Производная от функции f(x)

2. Производная функции от одной переменной. Механический смысл производной.

3. Правила дифференцирования.

4. Вторая производная.

5. Основные формулы дифференцирования.

6. Третья производная.

7. Производная сложной функции.

8. Производная высших порядков.

9. Применение понятия производной в последовании экономических процессов.

10. Предельные издержки производства. Эластичность спроса

Рекомендуемая литература: