Кинематика материальной точки

Положение материальной точки в выбранной системе координат определяется радиус-вектором . Вектор можно разложить на его составляющие по осям координат

, (1.1)

где - единичные вектора, направленные вдоль коорди- натных осей; x, y, z – координаты точки (рис.1.1).

При движении материальной точки по произвольной траектории ее положение описывается векторным кинемати- ческим уравнением движения

=¦(t),

либо тремя скалярными кинематическими уравнениями

x = f(t), y = f(t), z = f(t).

Если за некоторый промежуток времени D t = t₂ - t₁ точка переместилась из положения 1, определяемого радиуc-векто- ром , в положение 2, определяемое радиус-вектором , то вектор называется вектором перемещения и характеризует изменение пространственного положения точки за данный промежуток времени. Длина траектории DS, заключенная между точками 1 и 2, представляет собой путь, пройденный за тот же промежуток времени D t.

Для характеристики быстроты и направления движения материальной точки вводят понятие скорости. Вектор средней скорости представляет собой вектор перемещения за единицу времени

< > = (1.2)

Рис.1.1

Вектор мгновенной скорости определяется первой производной радиус-вектора по времени

= = = . (1.3)

Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к траектории движения в данной точке.

Разложение вектора в декартовой системе координат имеет вид:

. (1.4)

При этом, проекции скорости точки на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих

координат

; ; , (1.5)

а модуль вектора скорости равен

. (1.6)

Модуль вектора скорости может быть также определен через производную пути по времени

u =ú ú = = = . (1.7)

Если известен вид функции u (t), то путь, пройденный точкой за определенный промежуток времени, определяется интегрированием

S = . (1.8)

На графике зависимости скорости от времени u = f (t) он выражается площадью заштрихованной фигуры (рис.1.2).

Быстроту изменения скорости материальной точки в пространстве характеризует вектор ускорения:

= = = . (1.9)

Ускорение, таким образом, есть первая производная вектора скорости по времени, или вторая производная радиус - вектора по времени.

Проекция ускорения на оси координат равны производ- ным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат точки:

, , (1.10)

В общем случае, направление вектора составляет некоторый угол a с направлением скорости , поэтому вектор можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис.1.3).

. (1.11)

Рис.1.2 Рис.1.3

Вектор совпадает с направлением нормали в данной точке траектории и называется нормальным (центростреми- тельным) ускорением.

Нормальное ускорение характеризует изменение векто- ра скорости только по направлению. Его величина равна

= , (1.12)

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор - тангенциальное (касательное) ускорение, характеризующее изменение скорости по величине. Значение тангенциального ускорения определяется выражением

= . (1.13)

Уравнения скорости и пути для прямолинейного равно- переменного движения (равноускоренного и равнозамедлен- ного) в проекции на координатную ось имеют следующий вид:

, (1.14)