Напряжённости. Теорема Гаусса

Для графического изображения электрических полей применяют силовые линии (линии напряжённости).

Линии напряжённости – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора (рис. 4.3).

Рис.4.3

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных, они непрерывны и не пересекаются.

Густота линий напряжённости выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную силовым линиям, было равно числовому значению вектора .

Рассмотрим некоторую поверхность S, пронизываемую силовыми линиями электрического поля. На этой поверхности выделим элементарную площадку dS, нормаль к которой образует угол a с вектором в окрестности этой площадки (рис.4.4).

Число линий , пересекаю- щих данную площадку, равно

,

где - проекция вектора на нормаль к площадке.

Величина dФ называется потоком вектора сквозь элементарную площадку dS. Полный поток через поверх- ность S определяется путём интегрирования по заданной поверхности

. (4.12)

Физический смысл потока: Ф - число пересечений силовых линий с данной поверхностью.

Поток вектора есть величина алгебраическая, знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверх- ность S. В случае замкнутых поверхностей под нормалью к dS понимается обращенная наружу, т.е. внешняя нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор направлен наружу (т.е. силовые линии выходят из объема, охватываемого поверхно- стью) и соответственно dФ положительны, где вектор направлен внутрь - поток dФ будет отрицателен (рис.4.5). Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность зависит только от алгебраиче- ской суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Теорема Гаусса для электростатического поляв вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверх- ности зарядов, деленной на .

. (4.13)

Теорему Гаусса используют для расчета симметричных электрических полей.

В таблице приведены формулы расчета напряжённостей некоторых симметричных полей, полученные с помощью теоремы Гаусса.

№ п/п	Электрическое поле	Формулы напряженности	Графики
	Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости	где s - поверхностная плотность заряда	x E
	Поле бесконечно длинной равномерно заряженной нити	r - расстояние от нити, t - линейная плотность заряда	E r
	Равномерно заряженная сферическая поверхность	1) r<R, E=0; R где R - радиус сферы, r - расстояние от центра сферы.
Продолжение таблицы
	Поле объемно заряженного шара	где R - радиус шара, r - расстояние от центра шара, r - объёмная плотность заряда	R r Е 1/r2