Индукция магнитного поля прямого тока

Пусть по прямому тонкому бесконечно длинному проводнику течет постоянный электрический ток, как показано на рис. 2. вычислим индукцию магнитного поля в произвольной точке А, находящейся от оси проводника на расстоянии . Для этого проводник разобьем на множество малых элементов длиной . Выберем произвольно один такой элемент. Этот элемент проводника с током создает в точке А магнитное поле, вектор магнитной индукции которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа, равен

Вектор в точке А направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Модуль этого вектора равен Рис.2. Магнитное поле прямого тока Idl

. (2)

В выражении (2) имеется две переменные величины и . Преобразуем выражение (2) так, чтобы в него входила только одна переменная – . Для этого выразим и через угол .

Из рис.2 находим:

, .

Подставив эти значения в выражение (2) и произведя преобразования, получим дифференциал искомой величины как функцию одной переменной:

. (3)

Легко видеть, что все векторы от элементов проводника с током в точке А коллинеарны между собой и одинаково направлены, следовательно, результирующую индукцию магнитного поля найдем интегрированием выражения (3), где угол изменяется в пределах от до . Так как проводник бесконечно длинный, то , а . Следовательно

.

Таким образом, магнитная индукция поля прямолинейного бесконечно длинного проводника с током, находящегося в изотропной среде, определяется формулой (4):

. (4)

Закон Ампера — закон взаимодействия электрических токов. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Сила , с которой магнитное поле действует на элемент объёма проводника с током плотности , находящегося в магнитном поле с индукцией :

.

Если ток течёт по тонкому проводнику, то , где — «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равный и совпадающий по направлению с током. Тогда предыдущее равенство можно переписать следующим образом:

Сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника на магнитную индукцию : .

Направление силы определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила правой руки.

Модуль силы Ампера можно найти по формуле:

,

где — угол между векторами магнитной индукции и тока.

Сила максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции ():

.

]Два параллельных проводника

Два бесконечных параллельных проводника в вакууме

Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи и . Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

Бесконечный проводник с током в точке на расстоянии создаёт магнитное поле с индукцией:

(по закону Био — Савара — Лапласа).

Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:

По правилу буравчика, направлена в сторону первого проводника (аналогично и для , а значит, проводники притягиваются).

Модуль данной силы ( — расстояние между проводниками):

Интегрируем, учитывая только проводник единичной длины (пределы от 0 до 1):