Критерий согласия Пирсона

Предположим, что выполнено измерений некоторой случайной величины и есть основания полагать, что результаты распределены нормально с определенной плотностью вероятности

Параметры закона распределения и обычно неизвестны. Вместо неизвестных параметров подставляют значения их оценок, которые вычисляют по данным выборочной совокупности.

В качестве критерия проверки выдвинутой гипотезы примем критерий согласия Пирсона (критерий согласия “хи квадрат”)

где - частоты эмпирического распределения, - частоты теоретического распределения. Из формулы вытекает, что критерий характеризует близость эмпирического и теоретического распределений: чем меньше различаются и , тем меньше значение.

Доказано, что при закон распределения случайной величины независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с r степенями свободы. Для нормального распределения оцениваются два параметра (математическое ожидание и стандартное отклонение), поэтому r=k-3, где к- количество интервалов.

Поскольку мы проводим не одно, а измерений и эти измерения независимы, то их можно рассматривать как биномиальное распределение, в которых “успехом” считается попадание результата измерения в интервал. Тогда числа вычисляются по формуле

Для заданного уровня значимости по таблицам определяют критическое значение критерия. Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия делают вывод о соответствии экспериментальных данных предполагаемому закону распределения.

Пример. Проверить с помощью критерия при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что выборка объема n=50, представленная интервальным вариационным рядом в таблице, извлечена из нормальной генеральной совокупности.

Таблица

Решение. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:

H₀ - эмпирическое распределение соответствует нормальному;

H₁ - эмпирическое распределение не соответствует нормальному.

Для проверки нулевой гипотезы необходимо рассчитать наблюдаемое значение критерия по формуле и сравнить его с критическим значением.

Найдем середины интервалов Проведем расчеты средней величины (математического ожидания):

Проведем расчеты дисперсии и стандартного отклонения.

Выполним расчет теоретических частот по формуле. Для вычисления вероятностей воспользуемся программой Microsoft Excel.

4. По формуле проведем расчеты

5. Определим

Поскольку , то можно считать, что гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит опытным данным.

Задача 1.. Используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n=200.

Задача 2. Для выборки из 40 значений случайной величины, оценить близость эмпирического распределения к нормальному распределению. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с использованием - критерия как критерия согласия.

Задача 3.. Для формирования профильных классов ученики четвертого класса проходят профориентационный тест на выявление способностей к тем или иным наукам. Согласно городской статистики, 32% учащихся четвертых классов имеют склонность к гуманитарным наукам, 27% – к математическим, 25% – к естественным, 16% – не определена. При проверке 62 школьников данной школы оказалось, что имеют склонность к гуманитарным наукам – 21 человек, к математическим – 17 человек, к естественным – 14 человек и не выявили склонность 10 человек. Можно ли вероятностью 0,95 считать, что профориентационное распределение четвероклассников в данной школе соответствует городскому.