Основные теоретические положения. Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения п-го порядка

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения п -го порядка

Цели работы:

1. Изучить способы представления исходных данных при решении задачи Коши для дифференциального уравнения порядка п с помощью программного продукта MathCAD.

2. Рассмотреть порядок решения задачи Коши для дифференциального уравнения порядка п при использовании MathCAD.

3. Научиться представлять результаты численного решения в графическом виде.

Основные теоретические положения

Определение. Дифференциальным уравнением порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные до порядка включительно

(1)

или

. (2)

Определение. Решением (частным решением) уравнения (1) или (2) на интервале называется любая функция , которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своими производными , , …, обращает его в тождество относительно всех . Уравнение , определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения порядка .

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка называется задача отыскания решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям

. (3)

Определение. Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с начальными условиями (3) найдутся постоянные , определяемые системой уравнений

Определение. Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема Коши. Если дифференциальное уравнение (2) таково, что функция в некоторой области измерения свих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки существует интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (3).