Задание 2. Решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

Решения дифференциальных уравнений первого порядка можно получить путем интегрирования дифференциальных уравнений.

Задача Коши в общем виде: y^/ = a(x)y + b(x), y(x₀) = y₀. Формула для решения задачи Коши имеет вид:

y(x) = y₀· + ·b(z)dz.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение y^/ + 2xy = x· ·sin(x) и начальное условие y₀ = 1. Требуется найти решение задачи Коши.

Решение. Найдем решение по формуле для задачи Коши.

y₀:=1

y(x):= y₀·exp() + )·z·exp(-z²)·sin(z)dz

y(x) → exp(-x²) + (sin(x) - x·cos(x))·exp(-x²).

Проверка

+ 2·x·y(x) - x·exp(-x²)·sin(x) simplify → 0.

y(0) → 1.

Пример 2. Дано дифференциальное уравнение y^/ + y = arcsin(x) и начальное условие y₀ = 1. Требуется найти решение задачи Коши.

Решение. Найдем решение по формуле для задачи Коши.

y₀:=1

y(x):= y₀·exp() + )· dz

y(x) → 2·exp(-asin(x)) -1 + asin(x).

Проверка

+ ·y(x) - simplify → 0.

y(0) → 1.