Задание 1. Применение преобразования Лапласа для решения дифференциального уравнения второго порядка

Лабораторная работа 8 (2008 г.)

Пример 1. Найти решение уравнения x^// + 4x^/ + 4x = sin(t), удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 1, x^/(0) = -1.

Решение. Переносим правую часть уравнения влево: x^// + 4x^/ + 4x - sin(t) = 0.

Отметив переменную t, выполняем в левой части уравнения прямое преобразование Лапласа. В результате получим:

s·(s·laplace(x(t),t,s)–x(0))- +4·s·laplace(x(t),t,s)–4·x(0)+4· laplace(x(t),t,s)- = 0

Введем обозначение L = laplace(x(t),t,s). Учитывая, что x(0) = 1 и x^/(0) = -1, получим

s²·L – s +1 + 4·s·L – 4 + 4·L - = 0.

Решая это уравнение относительно переменной L, получим:

L = .

Отметив переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость x(t), т. е. решение заданного уравнения в виде:

x(t) =

Пример 2. Решить уравнение вида: m· - k· = 0.

Решение. Отметив переменную t, выполняем в левой части уравнения прямое преобразование Лапласа. В результате получим:

m· - k·(s·laplace(y(t),t,s) – y(0) = 0

Ввести обозначения: L = laplace(y(t),t,s), C1 = y(0), C2 = diff(y(0),0).

Получим: m·L·s² - m·s·C1 - m·C2 - k·L·s + k·C1 = 0.

Решая это уравнение относительно переменной L, получим:

L =

Отметив переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость y(t), т. е. решение заданного уравнения в виде:

y(t) = .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях: x^// - 3x^/ + 2x = e^esin2t: x(0) = 1, x^/(0) = 0.

Решение.

Отметив переменную t, выполняем в левой части уравнения прямое преобразование Лапласа. В результате получим:

s·(s·laplace(x(t),t,s)–x(0))- -3·s·laplace(x(t),t,s)+3·x(0)+2·laplace(x(t),t,s)- =0.

Введем обозначение L = laplace(x(t),t,s). Учитывая, что x(0) = 1 и x^/(0) = 0, получим:

s²·L – s - 3·s·L – 4 +3 + 2·L - = 0.

Решая это уравнение относительно переменной L, получим:

L = .

Отметив переменную s и произведя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость x(t), т. е. решение заданного уравнения в виде:

x(t) = .