Линейная модель

Уравнение однофакторной (парной) линейной регрессии имеет вид:

Для нашего примера:

Y – Валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, тыс. руб. (результативный признак);

Х – Доля трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, % (факторный признак).

Для нахождения параметров a и b линейной регрессии можно решить систему нормальных уравнений относительно a и b.

Для расчета параметров уравнения регрессии можно также воспользоваться готовыми формулами, полученными путем преобразования уравнений системы:

Уравнение принимает вид:

Рис. 2. Влияние доли трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, на валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни.

Коэффициент -0,7113 стоящий перед Х, называется коэффициентом регрессии. По знаку этого коэффициента судят о направлении связи. Если знак «+» – связь прямая; «-» – связь обратная. Величина коэффициента регрессии показывает, на сколько в среднем изменится величина результативного признака Y при изменении факторного признака Х на единицу. В данном случае с увеличением доли трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, на 1 % валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, уменьшается в среднем на 0,7113 тыс. руб.

Коэффициент регрессии применяется для расчета среднего коэффициента эластичности, который показывает: на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат Y от своей средней величины при изменении фактора X на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

В нашем случае

И формула коэффициента эластичности парной линейной регрессии принимает вид:

С увеличением доли трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, на 1 % валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, уменьшается в среднем на 0,26749%.

При линейной корреляции между Х и Y исчисляют парный линейный коэффициент корреляции r. Он принимает значения в интервале –1 £ r £ 1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: «+» – связь прямая, «–» – связь обратная. Абсолютная величина характеризует степень тесноты связи.

Коэффициент парной линейной корреляции рассчитаем по формуле:

Линейный коэффициент парной корреляции показывает, что связь между долей трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, и валовым доходом растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, обратная и слабая.

Изменение результативного признака Y обусловлено вариацией факторного признака X. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D.

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

Следовательно, вариация валового дохода растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, на 6,4% объясняется вариацией доли трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, а остальные 93,6% вариации валового дохода растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

Для практического использования корреляционно-регрессионных моделей большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным. Корреляционно-регрессионный анализ проводится обычно по ограниченному объему статистической совокупности. Поэтому показатели регрессии и корреляции – параметры уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить насколько эти показатели характерны для генеральной совокупности, являются ли они результатом действия случайных величин, необходимо проверить адекватность построенных статистических моделей.

Оценим модель через среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений - не более 8 – 10%.

Выполним вспомогательные расчеты (табл.6).

Таблица 6. Исходные данные, необходимые для определения показателей аппроксимации.

№ хозяйства	Доля трактористов-машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, %	Валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, тыс.руб.	Расчетные величины
	34,0426	48,2162	53,3288883	-5,11268832	10,6036733	26,1395818	121,975157
	24,1935	46,3568	60,3337919	-13,9769919	30,1508989	195,356302	1,42835093
	28,2486	47,4703	57,4497127	-9,97941268	21,0224344	99,5886775	27,5649819
	18,9850	40,5136	64,0381953	-23,5245953	58,0659219	553,406586	16,1070877
	27,1845	100,7356	58,2065248	42,52907524	42,2185158	1808,72224	17,5237377
	11,9266	59,4603	69,0582897	-9,59798971	16,1418454	92,1214064	122,58395
	19,5652	61,4004	63,6255439	-2,22514394	3,62398931	4,95126553	11,7866126
	18,1208	49,7596	63,9008582	8,871941755	12,1912882	78,7113505	14,5944143
	15,8228	99,1870	64,652834	-14,893234	29,9303733	221,808419	23,790627
	19,1781	72,7728	66,2872238	32,89977621	33,1694438	1082,39527	51,4887135
	35,7143	47,1492	52,1399373	-4,99073732	10,5849883	24,907459	161,695038
	252,9819	673,0219	673,0218		267,703373	4188,10856	570,53867
сред. знач.	22,9984	61,1838	61,1838		24,3366702

Средняя ошибка аппроксимации равна 24,3367%. т.е. в среднем расчетные значения валового дохода растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, отличаются от фактических на 24,3367%, что не входит в допустимый предел.

Оценим модель через F-критерий Фишера. F-критерий Фишера необходим для проверки нулевой гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (r).

Выдвинем H0 о статистической незначимости полученного уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Сравним фактическое значение F-критерия с табличным. Для этого выпишем из таблицы «Значения F-Фишера при уровне значимости α=0,05» табличное значение.

k₁ – число факторных признаков в модели

k₂ = n- k₁-1

n – число единиц совокупности

В нашем примере k₁ =1, k₂ = 11-1-1 = 9

Таким образом

Так как F_факт<F_табл,то при заданном уровне вероятности α=0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы для каждого из показателей.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:

; ;

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

;

Выдвинем нулевую гипотезу о незначимости коэффициентов корреляции и регрессии.

Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

t_табл при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы, равном n-2 = 11-2=9, равно 2,2622.

Так как | t_b|<t_табл и | t_r|<t_табл, следовательно, Н₀ о незначимости коэффициентов корреляции и регрессии подтверждается.

Взаимосвязь между t-статистикой и F-статистикой:

0.62=0.62=0.62

Рассчитаем доверительные интервалы для каждого показателя. Для этого определим предельную ошибку D для каждого из показателей.

С вероятностью 95% можно утверждать, что показатель a находится в пределах:

62,6974<a<92,3878

Так как в пределы доверительного интервала не входит 0, то с вероятностью 95% можно судить о статистической значимости параметра a.

С вероятностью 95% можно утверждать, что коэффициент регрессии находится в пределах:

-2.7541<b<1,3317

Так как в пределы доверительного интервала входит 0, то с вероятностью 95% можно судить о незначимости коэффициента регрессии.

С вероятностью 95% можно утверждать, что коэффициент корреляции находится в пределах:

-0,9821<r<0,4743

Так как в пределы доверительного интервала входит 0, то с вероятностью 95% можно судить о статистической незначимости коэффициента корреляции.