Равносторонняя гипербола. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

Для нашего примера:

Y – Валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, тыс. руб. (результативный признак);

Х – Доля трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, % (факторный признак).

Данная функция нелинейна относительно переменной, но линейна по параметрам. Прежде, чем проводить анализ необходимо перейти от нелинейной формы к линейной. В нелинейных регрессиях относительно переменных процедура лианеризации (аноморфоза) производится путем замены переменных.

Сделаем замену:

Вновь полученное уравнение будет иметь вид:

Таблица 7. Расчетные величины, необходимые для определения параметров уравнения

№ хозяйства	Доля трактористов-машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, % X	Валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, тыс.руб. Y	Z
	34,0426	48,2162	0,029375	0,0009	2324,80194	1,4163
	24,1935	46,3568	0,041333	0,0017	2148,95291	1,9161
	28,2486	47,4703	0,0354	0,0013	2253,42938	1,6804
	18,9850	40,5136	0,052673	0,0028	1641,35178	2,134
	27,1845	100,7356	0,036786	0,0014	10147,6611	3,7056
	11,9266	59,4603	0,083846	0,007	3535,52728	4,9855
	19,5652	61,4004	0,051111	0,0026	3770,00912	3,1382
	18,1208	49,7596	0,052143	0,0027	5295,88042	3,7946
	15,8228	99,1870	0,055185	0,003	2476,01779	2,746
	19,1781	72,7728	0,0632	0,004	9838,06097	6,2686
	35,7143	47,1492	0,028	0,0008	2223,04706	1,3202
	252,9819	673,0219	0,5290525	0,02814	45654,73976	33,1056
сред.знач.	22,9984	61,1838	0,0480957	0,00256	4150,430887	3,0096
Сренднее квадратич отклонение	7,2018853	20,173584	0,015644

Найдем среднее квадратическое отклонение по Z:

Для расчета параметров уравнения регрессии воспользуемся готовыми формулами:

Уравнение принимает вид:

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

В нашем случае

И формула коэффициента эластичности парной линейной регрессии принимает вид:

С увеличением доли трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, на 1 % валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, уменьшается в среднем на 0,19848%.

Для нелинейной парной корреляции рассчитывается индекс корреляции:

Для расчета индекса корреляции выполним вспомогательные расчеты (таблица 8).

Таблица 8. Расчетные величины, необходимые для расчета индекса корреляции и определения показателей аппроксимации.

№ хозяйства	Доля трактористов-машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, %	Валовый доход растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, тыс.руб.	Расчетные величины

	34,0426	48,2162	56,0644	168,159	61,594275	16,277	0,000350
	24,1935	46,3568	59,33458	219,84	168,422788	27,995	0,000046
	28,2486	47,4703	57,71201	188,06	104,892724	21,575	0,000161
	18,9850	40,5136	62,43557	427,257	480,572586	54,11	0,000021
	27,1845	100,7356	58,09095	1564,34	1818,5665	42,333	0,000128
	11,9266	59,4603	70,96019	2,97045	132,247518	19,34	0,001278
	19,5652	61,4004	62,00842	0,04692	0,36968473	0,9902	0,000009
	18,1208	49,7596	62,29053	134,305	109,877894	14,404	0,000016
	15,8228	99,1870	63,12251	130,512	178,567414	26,855	0,000050
	19,1781	72,7728	65,31423	1444,24	1147,36422	34,15	0,000228
	35,7143	47,1492	55,6884	196,97	72,9179421	18,111	0,000404
	252,9819	673,0219	673,0218	4476,7086	4275,393542	276,14	0,002692
сред. знач.	22,9984	61,1838	-	-	-	25,104

Индекс корреляции показывает, что между долей трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, и валовым доходом растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, слабая.

Коэффициент детерминации для нелинейных функций рассчитывается по формуле:

Следовательно, вариация валового дохода растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, на 4,4969% объясняется вариацией доли трактористов – машинистов в общей численности работников, занятых в сельскохозяйственном производстве, а остальные 95,503% вариации валового дохода растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

Оценим модель через среднюю ошибку аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации равна 25,104%, т.е. в среднем расчетные значения валового дохода растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, отличаются от фактических на 25,104%, что не входит в допустимый предел.

Оценим модель через F-критерий Фишера. F-критерий Фишера необходим для проверки нулевой гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Выдвинем H₀ о статистической незначимости полученного уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Сравним фактическое значение F-критерия с табличным. Для этого выпишем из таблицы «Значения F-Фишера при уровне значимости α=0,05» табличное значение.

Так как F_факт<F_табл,то при заданном уровне вероятности α=0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:

; ;