Понятие инструментальной переменной. Процедура получения состоятельных оценок параметров модели при нарушении четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова

Существуют несколько методов вычисления состоятельных оценок параметров линейной модели множественной регрессии в условиях нарушения четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова.

Наиболее практичный метод - метод применения инструментальных переменных. В его основе лежит понятие инструментальной переменной.

Определение. Пусть имеется модель линейной множественной регрессии

(1)

в которой объясняющие переменные коррелируют в пределе со случайными возмущениями .То есть не выполняется условие состоятельности МНК-оценок параметров модели о том, что существует и равен предел по вероятности: ). Переменные называются инструментальными для модели (1), если они удовлетворяют двум требованиям:

1. Существует предел

2. Существует невырожденная матрица:

Из определения следует, что инструментальные переменные в пределе коррелируют с исходными регрессорами , но не коррелируют в пределе со случайными возмущениями. Z и Х матрицы размерностью n×K, составленные по результатам наблюдений за соответствующими переменными.

Теорема. Процедура доставляет состоятельные оценки параметров модели (1).

41. Использование инструментальных переменных при идентификации поведенческих уравнений модели в структурной форме.

В основе метода применения инструментальных переменных для вычисления состоятельных оценок параметров линейной модели множественной регрессии в условиях нарушения четвертой предпосылки теоремы Гаусса-Маркова лежит понятие инструментальной переменной. Определение. Пусть имеется модель линейной множественной регрессии

Модель 1.

Y_t=a₁x_1t + a₂x_2t + a_kx_kt + u_t

M(u_t) = 0; σ²(u_t) = σ²_u

В которой объясняющие переменные коррелируют в пределе со случайными возмущениями u_t. Переменные (z_1t,z_2t,…,z_kt) называются инструментальными для модели, приведенной выше, если они соответствуют двум требованиям:

1. Существует предел:

Plim_n→∞((1/n)Z^Tu) = 0

1. Существует невырожденная матрица:

M_zz = Plim_n→∞((1/n)Z^TX)^-1

Заметим, что инструментальные переменные в пределе коррелируют с исходными регрессорами, но не коррелируют со случайными возмущениями.

Теорема: Процедура

~ a = (Z^TX)^-1Z^Ty

доставляет состоятельные оценки параметров модели 1.

Таким образом, инструментальные переменные используются в косвенном методе наименьших квадратов и двухшаговом методе наименьших квадратов для идентификации поведенческих уравнений модели в их структурной форме.