Общее решение задачи с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа

Использование множителей Лагранжа позволяет построить функцию

, (2)

где a₀ = 1 и b₀(x) = 1 для всех образов x.

Взяв частные производные от функции H₁ по плотности рас­пределения p(x), имеем

(3)

Приравняв подынтегральное выражение нулю и выразив из этого уравнения p(x), получим

(4)

Здесь Q+1 параметров следует выбирать так, чтобы они соответствовали априорной информации об образах х, содержащейся в соотношениях (*) и (**).

Исходя из (4), легко показать, что, когда известно, что случайная величина отлична от нуля только в конечном интер­вале, следует выбирать равномерное распределение. Если случайная величина может принимать любое действительное значение, а единственными разумными характеристиками считаются математическое ожидание и дисперсия, то следует выбирать нормальное распределение. Выбрав плотность рас­пределения, необходимо заняться оценкой параметров выбран­ной функции. Проведенный анализ показывает, что при следо­вании энтропийной концепции выбор нормального распределения является вполне приемлемым допущением, если единствен­ными известными характеристиками образов х являются мате­матическое ожидание и дисперсия.