Тест Чоу

Иногда выборка наблюдений состоит из двух или более подвыборок, и трудно установить, следует ли оценивать одну объединенную регрессию или отдельные регрессии для каждой подвыборки.

Обозначим объединенную (общую) регрессию Р, а отдельные регрессии подвыборок как А и В. Пусть суммы квадратов остатков для регрессий подвыборок равны соответственно: Е_А и Е_В. Пусть и – суммы квадратов остатков в объединенной регрессии для наблюдений, относящихся к двум рассматриваемым подвыборкам.

Отдельные регрессии для подвыборок должны соответствовать наблюдениям, по меньшей мере так же хорошо, и даже лучше, чем объединенная регрессия. Поэтому должны выполняться следующие соотношения: Е_А < и Е_В < или (Е_А + Е_В) £ Е_р где Е_р = + – общая сумма остатков в объединенной регрессии.

Поясним графически суть данного подхода. Предположим, что имеются данные временного ряда по двум переменным, и что в период выборки произошло структурное изменение, разделяющее наблюдения на подвыборки A и В. На рис. 2.1, б подвыборки обеспечивают вполне адекватное соответствие данным (им соответствуют низкие значения Е_А и Е_В). Для случая объединенной регрессии (рис. 2.1, а) остатки в обеих подвыборках в целом оказываются значительно больше.

Рис. 2.1. Применение теста Чоу

а – объединенная регрессия; б – отдельные регрессии подвыборок

Равенство между Е_р и (Е_А + Е_В) будет иметь место только при совпадении коэффициентов регрессии для объединенной регрессии и регрессий подвыборок. В общем случае при разделении выборки будет наблюдаться улучшение качества уравнения. Улучшение качества измеряется величиной:
Е_р – Е_А + Е_В. Однако при разделении выборки растет число степеней свободы: дополнительно приходится оценивать (т + 1) параметров, где т – число объясняющих переменных (факторов). Поэтому число степеней свободы возрастает на (т + 1). После разделения выборки остается необъясненная сумма квадратов остатков (Е_А + Е_В) с (n – 2т – 2) степенями свободы.

Для того чтобы определить, является ли значимым улучшение качества уравнения после разделения выборки, используют F -статистику:

.

Если вычисленное по данным выборки наблюдаемое значение F -статистики больше критического значения: F_{кр(a;m+1;n-2m-2)}, то улучшение качества регрессии после разделения выборки существенно, т. е. не следует оценивать объединенную регрессию.

Рассмотрим применение теста Чоу на примере. Воспользуемся данными табл. 2.4. Пусть мы решили, что следует построить 2 отдельных уравнения регрессии для рабочих-мужчин и рабочих-женщин. Тогда оценивание объединенной регрессии и регрессий для подвыборок дает результаты, приведенные в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Выборка	Оцененное уравнение	R2	Сумма квадратов остатков
Объединенная выборка,	Тнабл (4,29) (4,104)	0,728
Мужчины	Тнабл (1,39) (6,88)	0,735
Женщины	Тнабл (1,43) (6,48)	0,712

Соответствующая F -статистика будет равна:

.

Полученное значение меньше нуля. Так как F_кр всегда положительно, то, следовательно, F_набл будет меньше F_кр и разбивать выборку на части не следует. Улучшение качества регрессии после разделения выборки на части не существенно.

Тест Чоу может применяться для выявления стабильности тенденции временного ряда. Допустим, что ряд динамики имеет нестабильную тенденцию. Это значит, что начиная с некоторого момента t*, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Момент времени t* сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель (например, начало крупных экономических реформ, нефтяные кризисы, изменение экономического курса и прочее).

При этом весь ряд динамики представляет собой выборку, которую можно разделить на подвыборки:

1) до момента t*;

2) после момента t*.

Выдвигается основная гипотеза Н0: о структурной стабильности тенденции. В соответствии с тестом Чоу рассчитывается F_набл, определяется F_кр. Если F_набл < F_кр, то гипотезу Н0 не отвергаем, и наоборот.