Пример 5.1.2

1. Рассмотрим модель спроса и предложения в предположении, что спрос и предложение являются линейными функциями от цены :

Проверим модель на идентификацию. Учитывая тождество, система примет вид:

(5.1.2)

В данной модели две эндогенные переменные: – объем спроса, равный объему предложения в момент времени t, – цена товара в момент времени t. Поэтому для каждого из уравнений H =2, D =0. Следовательно, D+1<H, что означает, что оба уравнения неидентифицируемы.

2. Модель (5.1.2) может быть усовершенствована. Добавим во второе уравнение экзогенную переменную I (доход потребителей):

(5.1.3)

Для первого уравнения системы H =2, D =1, D+1=H, а значит, уравнение идентифицируемо. Для второго уравнения системы H =2 и D =0, т. е. уравнение неидентифицируемо (D+1<H).

3. В модели

(5.1.4)

переменная – цена в предыдущий момент времени – является предопределенной. Поэтому для каждого уравнения системы H =2, D =1, D+1=H, а значит, оба уравнения системы точно идентифицируемы.

Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Так как

m-1 = 1, то достаточно, чтобы хотя бы один из коэффициентов матрицы A был не равен нулю.

В первом уравнении отсутствует только переменная I_t. Матрица A=(b₂). Определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, ранг равен

m-1=1 и уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении отсутствует только переменная P_t-1. Матрица A=(a₂). Определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, ранг равен

m-1=1 и уравнение идентифицируемо.

Таким образом, оба уравнения системы точно идентифицированы. Следовательно, система в целом является точно идентифицируемой.

4. Введем новую предопределенную переменную R_t – благосостояние потребителей в уравнение спроса:

(5.1.5)

В этой модели первое уравнение сверхидентифицировано (H=2, D=2, D+1>H), а второе – точно идентифицировано (H=2, D=1, D+1=H), при этом выполняется достаточное условие идентификации.

Вопросы для самопроверки

1. Какие переменные системы уравнений называются экзогенными, эндогенными и предопределенными?

2. Какая система уравнений называется структурной формой модели?

3. Какая система уравнений называется приведенной формой модели?

4. В чем заключается проблема идентификации системы одновременных уравнений?

5. Какая модель называется идентифицируемой?

6. Сформулируйте необходимое условие идентифицируемости модели.

7. Сформулируйте достаточное условие идентифицируемости модели.

5.2. Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенным методом наименьших квадратов (КМНК) называют способ оценивания коэффициентов структурной модели с использованием оцененных коэффициентов приведенной формы модели. КМНК применяется только в случае точно идентифицируемой структурной модели. Оценки, полученные по КМНК, являются состоятельными, а следовательно, при больших выборках велика вероятность, что они будут близки к истинным значениям параметров.

КМНК включает следующие этапы:

1. По структурной форме модели строится приведенная форма.

2. Параметры уравнений в приведенной форме оцениваются по МНК.

3. На основе оценок, найденных на 2-м этапе, оцениваются параметры структурных уравнений.