Структурная и приведенная формы уравнений

Для описания сложных экономических процессов используются не отдельные уравнения, а системы уравнений. Системы могут включать как тождества, так и регрессионные уравнения. Кроме того, в одних уравнениях системы определенная переменная может рассматриваться как объясняющая (независимая), а в другое уравнение она может входить как зависимая переменная. Непосредственное использование МНК для оценки параметров уравнений таких систем приводит к результатам с плохими статистическими свойствами.

Структурной формой модели (системой одновременных уравнений) называется система взаимосвязанных уравнений, в каждом из которых помимо объясняющих переменных могут содержаться объясняемые переменные из других уравнений.

Уравнения, составляющие модель, называются структурными уравнениями модели.

Простейшая структурная форма модели имеет вид

(5.1.1)

Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами.

При рассмотрении систем одновременных уравнений следует различать эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенными считаются переменные, значения которых определяются внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы. Экзогенными считаются переменные, значения которых определяются вне модели. Это заданные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

С математической точки зрения главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, в то время как эндогенные, как правило, коррелируют.

Если система уравнений содержит лаговые переменные (значения, полученные в предыдущие периоды времени), то выделяют множество предопределенных переменных модели одновременных уравнений, в которое входят лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные.

Структурная форма модели обычно включает в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и уравнения-тождества. Тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайный член.

Поскольку в общем случае эндогенные переменные коррелированы со случайным членом и каждое уравнение системы не может рассматриваться как самостоятельное, то применение МНК к структурной форме модели для нахождения его параметров невозможно или приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных коэффициентов.

Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму. Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма модели (5.1.1) имеет вид

Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы. Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК. Приведенная форма строится для того, чтобы по МНК-оценкам ее параметров определить оценки структурных коэффициентов.

Рассмотрим пример преобразования структурной формы модели в приведенную.