2015-05-18
351
1. Пусть вектор 
параллелен вектору 
1, тогда существует x ÎR такое, что = x 1.
2. Пусть векторы лежат в плоскости П и 1 не параллелен 2. Тогда всякий вектор 
ÎП есть линейная комбинация векторов 1 и 2:
= х 1 + у 2.
3. Пусть векторы 1, 2 и 3 не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор 
есть их линейная комбинация:
= x 1 + y 2 + z 3
Доказательство проведем только для случая 2.
Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы 1, 2 и . На направления О 1 и О 2 отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х 2 и у 2. Тогда получим требуемое равенство = х 1 + у 2. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.
Будем говорить, что векторы 1 и 1, рис. 6, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.
Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.
