2015-05-18
312
Если в пространстве задан базис { 
1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
↔(x,y,z), (1)
определяемое разложением вектора в заданном базисе: 
.
Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел 
арифметической или координатной моделью трехмерного векторного пространства, покажем, что операции сложения векторов и умножения на число определена в координатной форме и, что координаты вектора определяют его длину и направление.
Для удобства будем считать, что 
, 
, 
– известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся случаем плоскости.
Пусть 
, 
. Тогда 
и 
элементы геометрической модели и для них определена сумма
.
Учитываем, что 
, 
, 
и 
также элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:
Согласно соответствию (1), установленному выше, заключаем, что 
– координаты вектора 
. Аналогично показывается, что вектор 
имеет координаты 
.
Используя теорему Пифагора, находим длину вектора на плоскости
и в пространстве
.
Наконец, для противоположного вектора 
находим координаты: 
.
