Ахиллес и черепаха”

Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.

Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483-375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.

«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “а” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “а”, то черепаха уползет вперед на расстояние “а”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “а”/2, то черепаха уползет вперед на “а”/4. Когда Ахиллес пробежит “а”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “а”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».

Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию. Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.

Герман Вейль в начале XX века дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,...,n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “а”/2ⁿ) с неограниченно убывающим временным интервалом t_n =1/2ⁿ. Сумма таких интервалов существует и равна 2 ед. времени.

В реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.

Таким образом, в апории «Ахиллес и черепаха» нет изоморфизма между мыслимой и реальной моделями.

Парадокс пустого множества.

Рассмотрим высказывание Тº{то, что я скажу, ложь}. Зададимся вопросом, истинно это утверждение или ложно? Если Т истинно, то по своему смыслу оно ложно. Если Т ложно, то отрицание лжи есть истинно. Таким образом, Т не является ни истинным, ни ложным. В чем суть противоречия?

Рассмотрим утверждение “Т” как аксиому и рассмотрим существование реализации R(T) мыслимой модели с аксиомой Т. Реализация есть пустое множество. В противном случае на этой реализации мы имеем некоторое свойство с его отрицанием. Поэтому не существует изоморфизма мыслимой модели Т ни на какую реализацию R(T).

Утверждение такого типа, когда мыслимые модели не имеют реальных моделей, можно называть бессмысленными.