Парадокс достижимости в натуральном ряде

Натуральный ряд N - это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент xÎN будем называть достижимым, если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций последования S из первого элемента “1”.

Вопрос: всякий ли элемент xÎN достижим? Для ответа воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано, см. п.1.1. § 1. Пусть М - множество всех достижимых элементов: 1ÎМ, S(1) ÎМ; если xÎМ, то S(х)ÎМ. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МºN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.

С другой стороны, как мы знаем, п.1.1. § 1, линейная цепь:

Т = 1, 2,..., n,...;..., а_-2, а _-1, а₀, а₁, а₂,...;...,

является моделью натурального ряда (все аксиомы Пеано выполняются). В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид:

..., а_-2, а _-1, а₀, а₁, а₂,...

и содержат недостижимые элементы. Получили противоречие с тем, что все элементы достижимы.

Покажем, что свойство достижимости, назовем его аксиомой Д, не зависит от аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории этой аксиоматики.

Пусть П= {П₁,...,П₅} - аксиоматика Пеано, п.1.1, §1.

Модель Сколема Т реализует систему Аксиом П и отрицание аксиомы Д:Т=R₁{П,ùД}. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и Д:N=R₂(П,Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом, п.7.3., §7, заключаем, что аксиома Д не зависит от П.

Вывод.

В теории аксиом Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.

8.8 “Одно и то же, но по-разному”

– именно так характеризуется аксиоматическая теория, имеющая две неизоморфные модели. Напомним, п.7.4., §7, что такие аксиоматики, аксиоматические теории и структуры называются некатегоричными, и рассмотрим примеры.

В начале напомним, что система 15 аксиом (часть аксиом Гильберта) определяет геометрию e² плоскости Евклида. Если заменить аксиому параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского, то получим систему 15 аксиом планиметрии Лобачевского с моделью Пуанкаре L_2. Напомним так же, что обе эти геометрии образуют дедуктивно полные и категоричные аксиоматические теории. Теперь сформулируем пример.