Автокорреляция в остатках, критерий Дарбина-Уотсона

Рассмотрим уравнение регрессии вида

y_t = a + ,

где k ─ число независимых переменных модели.

Для каждого момента времени t = 1,2 …, n значение ε_t определяется, как:

или

.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод ─ построение графика зависимости остатков от времени визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод ─ использование критерия Дарбина ─ Уотсона и расчет величины:

.

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется, как:

;

где ;

После соответствующих преобразований получим:

Итак, соотношение между критерием Дарбина ─ Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков имеет следующий вид:

d ≈ 2 · (1 - ).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = -1, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно, 0 ≤ d ≤ 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина ─ Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁, Н₁^* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции остатков. Далее рассчитываются критические значения критерия Дарбина ─ Уотсона d_L и d_v для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели К и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков, принятые или

Отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 - α) осуществляется в зависимости от значений коэффициента автокорреляции.

Если значение Дарбина ─ Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н₀.