Доверительный интервал для функции регрессии

Построение доверительного интервала для функции регрессии, т.е. для условного математического ожидания y = M (Y/ X = x), основывается на следующей теореме.

Теорема 2.3. Если выполнены предпосылки 1 ⁰ – 5 ⁰, то статистика

где y ^* = a ^* × x + b ^* – выборочное уравнение регрессии,

при любом x Î R имеет t-распределение Стьюдента с (n – 2) степенями свободы.

Воспользовавшись снова стандартной процедурой построения доверительного интервала, когда известно распределение соответствующей статистики, получим следующую интервальную оценку уравнения регрессии

y = a x + b надежности g = 1 – a:

. (2.23)

Здесь y ^* = a ^* × x + b ^* – выборочное уравнение регрессии;

– выборочное среднеквадратическое

отклонение (стандартная ошибка) уравнения регрессии;

S – выборочное остаточное среднеквадратическое отклонение.

Из формулы (2.23) видно, что величина (длина) доверительного интервала зависит от значения x объясняющей переменной: при она минимальна, а по мере удаления x от величина доверительного интервала увеличивается (рис. 2.3). Множество доверительных интервалов, содержащихся между нижней и верхней доверительными границами неравенства (2.23), называется доверительной полосой для теоретического уравнения регрессии (на рис. 2.3 – это множество, содержащееся между сплошными кривыми).