Проверка общего качества уравнения регрессии. После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии. Для этой цели используется множественный коэффициент детерминации (или просто коэффициент детерминации) , который вычисляется по формуле

. (3.20)

Как и в случае парной регрессии, коэффициент детерминации характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией, или изменчивостью объясняющих переменных: чем ближе к единице, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и результирующей переменными. Поэтому естественно желание построить регрессию с наибольшим .

Вместе с тем использование только одного коэффициента детерминации для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным. На практике нередко встречаются ситуации, когда плохая модель регрессии может дать сравнительно высокий коэффициент детерминации .

Недостатком коэффициента детерминации является то, что он, вообще говоря, увеличивается при добавлении в модель новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества модели. В этом смысле предпочтительнее использовать «исправленный» коэффициент детерминации , определяемый по формуле

. (3.21)

Из (3.21) следует, что для m > 1 и чем больше число объясняющих переменных m, тем меньше по сравнению с . Другими словами, он корректируется в сторону уменьшения с ростом числа объясняющих переменных.

После проверки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость всех коэффициентов. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы о значимости уравнения множественной регрессии – гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

Н₀: a ₁ = a ₂ = … = a_m = 0.

Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех m объясняющих переменных X ₁, X ₂, …, X_m модели на результирующую переменную Y можно считать статистически незначимым, а общее качество уравнения регрессии невысоким.

Для проверки гипотезы Н₀ используется следующая F -статистика:

. (3.22)

При выполнении предпосылок 1 ⁰ – 6 ⁰ множественного регрессионного анализа (см. п. 3.2) и при справедливости нулевой гипотезы Н₀ статистика F имеет распределение Фишера с n ₁ = m и n ₂ = n – m – 1 степенями свободы. Следовательно, критерий значимости уравнения множественной регрессии на уровне a (с надежностью g = 1 – a) может быть записан в виде:

F ³ F _{1 – a} (n ₁, n ₂),

где F _{1 – a} (n ₁, n ₂) – квантиль порядка (1 – a) F -распределения Фишера с n ₁ = m и n ₂ = n – m – 1 степенями свободы.

Пример 3.3. По данным примера 3.1 определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии Y на X ₁ и X ₂ с надежностью 0,95.

Решение. Из итоговой строки табл. 3.2 находим , откуда (т). Также с помощью табл. 3.2 определим . Теперь по (3.20) множественный коэффициент детерминации

.

Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной Y – сменной добычи угля на одного рабочего – на 81,2% объясняется изменчивостью включенных в модель объясняющих переменных – мощности пласта X ₁ и уровня механизации работ X ₂.

По формуле (3.21) вычислим также «исправленный» коэффициент детерминации:

.

Зная , проверим значимость уравнения регрессии на уровне a = 1 – g = 0,05. Значение F -статистики критерияпо (3.22) равно

,

что больше табличного значения квантиля F _{1 – a} (m, n – m – 1) = F _0,95(2,7) = 4,74 (см. табл. 3 Приложения). Следовательно, построенное уравнение регрессии значимо, т.е. исследуемая зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в регрессионную модель переменными X ₁ и X ₂. g