2015-05-18
778
1. Проводится анализ зависимости средней заработной платы (з/п) Y от средней производительности X на предприятиях различного масштаба. Проведенное обследование нашло отражение в следующей таблице.
| Количество сотрудников предприятия | Средняя Производитель- ность (усл. ед.) | Средняя з/п (усл. ед.) | Стандартное отклонение з/п (усл. ед.) |
| 1 ¸ 4 | 9 320 | 3 320 | |
| 5 ¸ 9 | 8 630 | 3 640 | |
| 10 ¸ 19 | 8 050 | 3 900 | |
| 20 ¸ 49 | 8 320 | 4 120 | |
| 50 ¸ 99 | 8 600 | 4 090 | |
| 100 ¸ 199 | 9 120 | 4 200 | 1 100 |
| 200 ¸ 499 | 9 540 | 4 380 | 1 250 |
| 500 ¸ 999 | 9 730 | 4 500 | 1 290 |
| 1000 ¸ 1999 | 10 120 | 4 610 | 1 350 |
| 2000 ¸ 4999 | 10 740 | 4 800 | 1 100 |
| Не менее 5000 | 11 200 | 5 000 | 1 520 |
а) Оцените параметры модели парной линейной регрессии Y = aX + b + e, используя обычный МНК.
б) Оцените параметры преобразованной модели регрессии 
, используя ВМНК.
в) Сравните полученные результаты. Какую из моделей вы предпочтете и почему?
2. Пусть в модели парной линейной регрессии Y = aX + b + e имеет место соотношение D (ei) = s 2× xi 2, i = 1, 2, …, n.
а) Будет ли иметь место в данной ситуации гетероскедастичность?
|
|
|
б) Какое преобразование можно предложить, чтобы устранить проблему гетероскедастичности?
в) Опишите поэтапно предложенную схему.
3. Известны данные по доходам X и Y (в усл. ед.) на непродовольственные товары для 12 домохозяйств:
| X | 26,2 | 33,1 | 42,5 | 47,0 | 48,5 | 49,0 | 49,1 | 50,9 | 52,4 | 53,2 | 54,0 | 58,0 |
| Y | 10,0 | 11,2 | 15,4 | 20,5 | 21,2 | 19,5 | 23,0 | 19,0 | 19,5 | 18,0 | 24,5 | 34,6 |
а) Определите по МНК оценки параметров парной линейной модели регрессии Y на X.
б) Оцените качество построенной модели.
в) Проведите графический анализ остатков на наличие гетероскедастичности.
г) Проверьте выводы, полученные в предыдущем пункте, с помощью критерия ранговой корреляции Спирмена на уровне значимости 0,05.
д) Примените для указанных статистических данных ВМНК, предполагая, что D (ei) = s 2× xi 2, i = 1, 2, …, n.
е) Определите, существенно ли повлияла гетероскедастичность на качество модели, построенном по МНК.
4. Выдвигается предположение, что средняя заработная плата (з/п) наемных рабочих пропорциональна их стажу. Для анализа данного утверждения обследуются 20 рабочих восьми категорий стажа. Получены следующие статистические данные:
| Стаж | [0,5) | [5,10) | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40] |
| З/п (тыс.руб) | 10,0 | 12,5 | 14,3 | 18,7 | 25,4 | 29,0 | 32,0 | 34,3 |
а) Постройте модель линейной регрессии, в которой заработная плата
является зависимой, а стаж работы – объясняющей переменной (модель
строится в предположении, что дисперсии возмущений постоянны).
б) Оцените качество построенной модели.
в) Есть ли основания считать, что для данной регрессионной модели весьма вероятна гетероскедастичность? Если да, то почему?
|
|
|
г) Предполагая, что дисперсия возмущений пропорциональна трудовому стажу, постройте на основании тех же данных уравнение регрессии по ВМНК.
д) Предполагая, что дисперсия возмущений пропорциональна квадрату величины трудового стажа, постройте по ВМНК соответствующее уравнение регрессии.
5. Пусть при 50 наблюдениях и 3 объясняющих переменных d -статистика Дарбина – Уотсона принимает следующие значения:
а) 0,91; б) 1,37; в) 2,34; г) 3,01; д) 3,72.
Не обращаясь к таблице критических точек распределения Дарбина – Уотсона, выскажите мнение о наличии автокорреляции. Проверьте свои выводы по таблице.
6. По статистическим данным за 20 лет построена линейная регрессионная модель зависимости между ценой бензина и объемом продаж бензина. С помощью этой модели вычислена d -статистика Дарбина – Уотсона, равная 0,71.
а) Будет ли в данном случае иметь место автокорреляция остатков? Если да, она положительная или отрицательная?
б) Что могло послужить причиной автокорреляции?
в) Какими будут ваши рекомендации по совершенствованию модели с целью устранения автокорреляции?
7. Приведены данные за 15 по темпам прироста заработной платы Y (%), производительности труда X 1 (%), а также по уровню инфляции X 2 (%):
| Год | |||||||||||||||
| X 1 | 3,5 | 2,8 | 6,3 | 4,5 | 3,1 | 1,5 | 7,6 | 6,7 | 4,2 | 2,7 | 4,5 | 3,5 | 5,0 | 2,3 | 2,8 |
| X 2 | 4,5 | 3,0 | 3,1 | 3,8 | 3,8 | 1,1 | 2,3 | 3,6 | 7,5 | 8,0 | 3,9 | 4,7 | 6,1 | 6,9 | 3,5 |
| Y | 9,0 | 6,0 | 8,9 | 9,0 | 7,1 | 3,2 | 6,5 | 9,1 | 14,6 | 11,9 | 9,2 | 8,8 | 12,0 | 12,5 | 5,7 |
а) Оцените по МНК линейное уравнение регрессии Y на X 1 и X 2.
б) Проверьте качество построенного уравнения регрессии с надежностью
0,95.
в) Проведите проверку наличия в модели гетероскедастичности, автокорреляции и мультиколлинеарности на уровне значимости 0,05.
8. Имеется выборка из 10 наблюдений за переменными X 1, X 2, Y:
| X 1 | ||||||||||
| X 2 | 1,6 | 2,2 | 2,8 | 3,4 | 4,6 | 5,2 | 5,6 | 6,2 | ||
| Y |
а) Можно ли по этим данным с помощью МНК оценить коэффициенты линейной регрессии с двумя объясняющими переменными? Ответ поясните.
б) В случае отрицательного ответа на предыдущий вопрос предложите преобразования, которые позволят оценить коэффициенты регрессии.
9. По выборке объема n = 50 для переменных X 1, X 2, X 3 получена следующая корреляционная матрица:
.
а) Найдите и оцените статистическую значимость частных коэффициентов корреляции 
.
б) При рассмотрении какой регрессии будет иметь место мультиколлинеарность?
Литература
1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 1999.–Гл. 5, 7.
2. Воронович Н.В., Русин Г.Л. Эконометрика: Методические указания по выполнению контрольных работ. – Новосибирск, НГУЭУ, 2005.
3. Практикум по эконометрике /Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – II раздел.
4. Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – Гл. 3, 6.
ТЕМА 6. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
