Структурная и приведенная формы модели

При рассмотрении систем одновременных уравнений переменные делятся на два больших класса – эндогенные и экзогенные. Эндогенные переменные – это переменные, значения которых определяются внутри модели. Экзогенные переменные – это внешние по отношению к модели переменные; их значения определяются вне модели, и поэтому они считаются заданными.

Такая классификация позволяет определять эндогенные и экзогенные переменные. Например, в кейнсианской модели формирования доходов (пример 6.1) переменные C_t и Y_t формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (6.1.1) и (6.1.2), т.е. внутри модели, и потому они эндогенные. Между тем переменная I_t считается в уравнении (6.1.2) заданной, ее значения формируются вне модели, она экзогенная. В модели спроса и предложения (пример 6.2) переменные и – эндогенные, переменная I_t – экзогенная.

С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют со случайными возмущениями модели; между тем как эндогенные переменные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют).

Уравнения, составляющие исходную модель, называют структурными уравнениями модели. Обычно их подразделяют на поведенческие уравнения и уравнения-тождества. В первых из них описываются взаимодействия между переменными, во вторых – соотношения, которые должны выполняться во всех случаях. Например, в модели (6.2) уравнения (6.2.1) и (6.2.2) – поведенческие, а (6.2.3) – тождество.

Структурная форма эконометрической модели описывает одно- и многосторонние статистические отношения между экономическими величинами в их непосредственном виде. Она содержит всю существенную информацию о зависимостях между экономическими явлениями и процессами.

Уравнения, в которых отражена схема определения эндогенных переменных, называются уравнениями в приведенной форме (приведенными уравнениями). Это уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные, а также случайные составляющие. Предопределенными называются экзогенные переменные и такие эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения соотношения (например, из итерационных процедур).

Приведем общий вид системы одновременных уравнений в структурной форме. Пусть Y ₁, Y ₂, …, Y_k – эндогенные переменные, X ₁, X ₂, …, X_m – экзогенные переменные. Введем матрицы В и А вида:

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в структурной матричной форме как

, (6.3)

где

Если матрица В невырожденная, т.е. det В ¹ 0, то существует обратная матрица В ^–1. Благодаря этому можно решить систему уравнений (6.3) относительно зависимых переменных, умножая (6.3) слева на В ^–1:

или

. (6.4)

Форма эконометрической модели, задаваемой в виде (6.4), является матричной приведенной формой. Если в (6.4) воспользоваться обозначениями

и ,

то приведенную матричную форму модели можно записать более просто:

. (6.5)

Представим матричное уравнение (6.5) подробнее в виде системы уравнений:

(6.6)

Из (6.6) видно, что приведенная форма модели – это система независимых уравнений, в которой все эндогенные переменные модели выражены через предопределенные и возмущающие переменные модели. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить обычным МНК. Приведенная форма строится для того, чтобы по МНК-оценкам ее параметров определить оценки структурных коэффициентов.

Пример 6.3. Представить кейнсианскую модель формирования доходов (пример 6.1) в приведенной форме.

Решение. Подставив C_t из (6.1.2) в (6.1.1), получим из структурной приведенную форму модели:

(6.7)

где

g (6.8)

Пример 6.4. Представить структурные уравнения модели спроса и предложения (пример 6.2) в матричном виде и построить соответствующую приведенную форму.

Решение. В модели спроса и предложения можно положить . Введем следующие обозначения: