Парная регрессия и корреляция. Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным (у) и факторным (х)

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным (у) и факторным (х).

Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов

Параметры уравнения прямой определяются путем решения системы нормальных уравнений

(1)

или по формулам:

; (2)

(3)

В уравнении прямой параметр а₀ экономического смысла не имеет. Параметр а₁ является коэффициентом регрессии и показывает изменение результативного признака при изменении факторного на единицу своего измерения. Теоретические значения результативного признака рассчитываются путем подстановки в уравнение регрессии значений факторного признака. При правильном расчете параметров уравнения регрессии сумма фактически значений результативного показателя должна быть равна сумме теоретических.

Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - r_x,y. Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если r_x,y>0, то связь прямая; если r_x,y<0, то связь обратная.

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице êr_x,y ê=1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то r_x,y близок к 0.

(4)

(5)

(6)

Коэффициент детерминации – коэффициент корреляции, возведенный в квадрат. Он показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака.

Для оценки статистической значимости коэффициента регрессии и корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается нулевая гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.

(7)

(8)

(9)

где n- численность выборки;

p- число параметров в уравнении регрессии

(10)

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t - статистики, принимаем или отвергаем сформулированную нулевую гипотезу. Если фактическое значение коэффициента Стьюдента больше табличного значения, то нулевая гипотеза отклоняется, то есть параметры a₁, и r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если табличное значение коэффициента Стьюдента больше фактического, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования параметров модели и коэффициента корреляции.

Среднюю ошибку и коэффициент Стьюдента для коэффициента корреляции вычисляем по формулам (7.9, 7.10).

Для расчета доверительного интервала определяется предельная ошибка для каждого показателя:

(11)

(12)

где t – значение нормированного отклонения, величина которого определяется по таблицам.

Доверительные границы коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции в генеральной совокупности составят

(13)

(14)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль и нижняя граница отрицательная, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значение.

Прогнозируемое значение результативного показателя определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозируемого значения факторного признака – х. Затем вычисляется средняя ошибка прогноза по формуле:

, (15)

где (16)

Доверительный интервал прогноза строится на основании предельной ошибки прогноза, которая рассчитывается путем умножения средней ошибки на коэффициент Стьюдента с вероятностью нулевой гипотезы 0,05 и числом степеней свободы n-m-1.