Одномерные временные ряды

Одномерный временной ряд для анализируемой случайной величины Y представляет результаты её наблюдения y_t = в последовательные моменты времени . Как правило , то есть рассматривают равноотстоящие узлы с заданным временным тактом Δ (минута, сутки, год…).

В общем случае временной ряд представляет собой однопараметрическое семейство случайных величин y_t = y(t_i), i = 1 ,.., n, закон распределения и числовые характеристики которых могут зависеть от времени t.

Временные ряды, характеризующие динамику изучаемого явления, существенно отличаются от перекрестных данных, представляющих экономические явления в статике.

Во-первых, величина каждого последующего уровня ряда в значительной мере зависит от величины предыдущего уровня, т. е. элементы временного рядастатистически зависимы. Действительно, численность населения страны в данном году зависит от численности в прошлом году. Такое свойство рядов динамики носит принципиальный характер и называется автокорреляцией уровней временного ряда.

Во-вторых, местоположение каждого члена временного ряда строго определено и не может быть изменено произвольно: каждый выборочный показатель строго привязан к моменту времени его наблюдения.

В-третьих, чем больше промежуток времени между двумя уровнями ряда, тем существеннее могут быть различия в механизмах формирования изучаемого показателя: действие одних факторов может прекратиться, взамен появятся новые.

Перечисленные особенности временных рядов обусловливают специфические способы их статистической обработки.

Центральный момент при анализе временного ряда связан с выявлением его основных составляющих (компонент временного ряда). Перечислим главные из них:

­ трендовая составляющая;

­ сезонная составляющая;

­ циклическая составляющая;

­ случайная составляющая.

Трендовая составляющая описывает влияние долговременных факторов, которые формируют общую тенденцию изменения анализируемого показателя в длительной перспективе. В экономике к таким факторам относят:

­ технологическое и экономическое развитие;

­ рост потребления и изменение его структуры;

­ изменение различных демографических характеристик популяции.

Тренд, называемый также тенденцией,описывают посредством неслучайной функции T (t)с монотонным характером изменения (рис. 4).

Рис. 4. Возрастающая тенденция временного ряда

Сезонная составляющая представляет колебания анализируемого признака, которые повторяются периодически в течение не очень длительного периода (недели, месяца, максимум – года). Чаще всего сезонная составляющая связана с периодическими спадами и подъёмами в экономических процессах от времени года (отсюда и название). Например, периодическое изменение спроса на прохладительные напитки от времени года.Сезонность описывают неслучайной периодической функцией S (t) с периодом, кратным длительности сезона.

Циклическая составляющая представляет изменение анализируемого признака под действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (демографические «ямы», циклы солнечной активности и т. п.).Фактически речь идёт о периодических колебаниях длительностью свыше одного года. Цикличность описывается неслучайной функцией С (t).

Сезонную и циклическую составляющие зачастую объединяют одним понятием – периодическая компонента, так как их различает лишь величина периода колебаний (рис. 5).

Рис. 5. Периодическая компонента временного ряда

Случайная составляющая является результатом воздействия краткосрочных и непредсказуемых факторов (например, погодных аномалий), которые плохо поддаются учету и регистрации. Именно эта компонента представляет стохастическую природу изучаемого признака. Действие случайных факторов описывают с помощью случайной функции E (t)(рис. 6).

Рис. 6. Случайная компонента временного ряда

Считается обычно, что случайные факторы имеют эволюционный характер, т. е. они не вызывают скачкообразные структурные изменения в механизмах формирования уровней ряда.

Вовсе не обязательно, чтобы элементы временного ряда представляли одновременное действие всех четырех видов факторов – в разных условиях работают разные их комбинации, но присутствие случайной компонентысчитается обязательным.

Заключение о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений y_t, может базироваться на анализе содержательной сущности задачи (быть априорным) либо такое заключение делается по результатам специального статистического анализа временного ряда.

Разные модели временных рядов отличаются между собой как составом учтённых компонент, так и вариантами их взаимодействия между собой. Так, уровни ряда могут быть представлены в виде суммы отдельных составляющих:

(21)

В этом случае говорят об аддитивной модели ряда. Аддитивная модель пригодна для описания временного ряда с приблизительно постоянной амплитудой колебаний в уровнях y_t.

Модель, в которой временной ряд представлен как произведение неслучайных составляющих, называется мультипликативной моделью временного ряда:

(22)

Мультипликативная модель подходит для описания временных рядов с изменяющейся амплитудой колебаний в уровнях y_t.

Любая модель предполагает оценку вкладов отдельных составляющих в значения y_t, что видно из (21) и (22). Соответствующую процедуру принято называть декомпозицией уровней временного ряда. По величине вклада отдельных составляющих в наблюдаемые значения y_t можно судить о роли соответствующих факторов и, следовательно, прогнозировать изменение y_t в будущем.