Механическое выравнивание уровней ряда

Как отмечалось ранее в 2.4, значительные колебания в уровнях ряда скрывают, затушевывают основную тенденцию в развитии изучаемого процесса. В подобных случаях спецификацию тренда выполняют после выравнивания временного ряда с помощью, например, метода скользящей средней.

Сущность метода скользящей средней состоит в том, что фактические уровни временного ряда заменяются их средними значениями, которые погашают случайные колебания.

Начинают с выбора величины интервала скольжения m – числа уровней временного ряда, по которым рассчитывается скользящая средняя. Практические рекомендации состоят в следующем. Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал скольжения следует брать
побольше, и наоборот, когда надо сохранить мелкие систематические колебания, тогда интервал скольжения следует брать поменьше. В любом случае максимальное значение m должно быть не больше n /4, где n – число наблюдений.

Если колебания уровней ряда имеют систематический периодический характер, как, например, при сезонных колебаниях, то длину интервала скольжения m рекомендуют брать равной или кратной периоду этих колебаний.

Сначала вычисляют среднее значение по первым m уровням, далее каждый раз интервал скольжения продвигают вперёд на единицу времени, принятую при построении данного временного ряда.

Таким образом, вычисление средних значений как бы «скользит» по ряду динамики от его начала до конца. Отсюда и название – метод скользящей средней.

Далее следует учесть, что средние значения вычисляются по элементам динамического ряда, т. е. их необходимо соотнести с конкретными моментами времени. Если количество уровней в интервале скольжения m является нечётным числом, то средний уровень приходится на момент времени , где – целое значение, отвечающее середине интервала скольжения. Если же m – чётное, то центр интервала скольжения падает на дробное значение. Например, при сезонных колебаниях m = 4, . Это затрудняет сопоставление исходного и сглаженного рядов, так как в исходном ряду динамики нет дробных моментов времени. Для преодоления указанного недостатка используют процедуру центрирования средних: при чётном m в качестве значений сглаженного ряда берут полусумму для двух соседних интервалов скольжения, которая будет относиться теперь к моменту = (m /2+1), а это уже целое число, соответствующее одному из значений t в исходном ряду наблюдений. В целесообразности описанной процедуры убедимся на приведённом ниже примере.

Уровни временного ряда по квартальным продажам фирмы (разд. 2.2., табл. 2) изображены на рис.9.

Рис. 9. График временного ряда

Для изучаемого ряда показано наличие значительных периодических колебаний с периодом в четыре квартала (r (4) = 0,996). Поэтому для сглаживания ряда выбираем длину интервала скольжения m = 4.

Первая скользящая сумма включает значения первых четырех квартальных уровней временного ряда:

S ₁= у₁ + у₂ + у₃ + у₄ = 20 + 12 + 47 + 60 = 139.

Во вторую скользящую сумму входят следующие четыре уровня, сдвинутые на один квартал вперед:

S ₂ = у₂ + у₃ + у₄ + у₅ = 12 + 47 + 60 + 40 = 159.

Третья скользящая сумма определяется при сдвиге уровней на два квартала вперед:

S ₃ = у₃ + у₄ + у₅ + у₆ = 47 + 60+ 40 + 32 = 179,

и т. д., вплоть до

S ₁₃ = у₁₃ + у₁₄ + у₁₅ + у₁₆= 75 + 70 + 101 + 123 = 369.

Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (табл. 7).

Таблица 7

Год	Квартал	t	yt	Скользящая сумма	Скользящая средняя	Центрированная скользящая средняя,
						–
						–
					34,75
						37,25
					39,75
						42,25
					44,75
						47,00
					49,25
						51,25
					53,25
						55,25
					57,25
						59,50
					61,75
						64,25
					66,75
						69,75
					72,75
						75,13
					77,5
						80,00
					82,5
						84,50
					86,5
						89,38
					92,25
				–		–

В нашем примере m = 4, т. е. чётное. Поэтому, для того чтобы скользящая средняя относилась непосредственно к периоду t (в данном случае к середине квартала),применим процедуру центрирования. Например, вычислим первую скользящую среднюю, центрированную на середину квартала: t = 3: (34,75 + 39,75) / 2 = 37,25. Аналогично для t = 4 имеем (39,75 + 44,75) / 2 = 42,25 и т. д..

С помощью рассмотренной процедуры вычисляются 12 центрированных скользящих средних (табл. 7). Соответствующий этим данным сглаженный ряд изображён на фоне исходного временного ряда (рис. 10).

Рис. 10.Сглаживание временного ряда объемов продаж
фирмы на основе скользящих средних

Применение метода скользящих средних даёт следующие результаты:

– визуально угадывается линейный тренд . При этом уровни сглаженного ряда дают расчётную базу для оценки этого тренда;

– разницу между и следует отнести на счёт периодической (сезонной в нашем случае) компоненты, так как никаких других неслучайных компонент не выявлено при корреляционном анализе примера в 2.2.